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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Re(λ) = 0, on a |e
λ(t−t0)
| = 1 et par suite e
(t−t0)A est non born´ ee. On voit donc que
les solutions sont asympotiquement stables si et seulement si Re(λ) < 0 et sinon
elle sont instables. En r´ esum´ e, on peut ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Soient λ 1 , . . . , λ m les valeurs propres complexes de la matrice A.
Alors les solutions du syst` eme lin´ eaire Y
= AY sont
• asymptotiquement stables si et seulement si Re(λ j ) < 0 pour tout j = 1, . . . , m.
• stables si et seulement si pour tout j, ou bien Re(λ j ) < 0, ou bien Re(λ j ) = 0 et
le bloc correspondant est diagonalisable.
½º¿º ÈÈØØØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ×Ý×Ø ÑÑ ÐÐÒ ÖÖ
On consid` ere dans K
m = R
m ou C
m un syst` eme de la forme
(E)
Y
= AY + g(t, Y )
o` u g : [t 0 , +∞[ × K
m
→ K
m est une fonction continue. On se propose de montrer
que si la partie lin´ eaire est asymptotiquement stable et si la perturbation g est
suffisamment petite, en un sens ` a pr´ eciser, alors les solutions de (E) sont encore
asymptotiquement stables.
Th´ eor` eme – On suppose que les valeurs propres complexes λ j de A sont de
partie r´ eelle Re λ j < 0.
(a) S’il existe une fonction k : [t 0 , +∞[ → R + continue telle que lim
t→+∞
k(t) = 0 et
∀t ∈ [t 0 , +∞[, ∀Y 1 , Y 2 ∈ K
m , g(t, Y 1 ) − g(t, Y 2 ) ≤ k(t)Y 1 − Y 2 ,
alors toute solution de (E) est asymptotiquement stable.
(b) Si g(t, 0) = 0 et s’il existe r 0 > 0 et une fonction continue k : [0, r 0 ] → R + telle
que lim
r→0
k(r) = 0 et
∀t ∈ [t 0 , +∞[, ∀Y 1 , Y 2 ∈ B(0, r), g(t, Y 1 ) − g(t, Y 2 ) ≤ k(r)Y 1 − Y 2
pour r ≤ r 0 , alors il existe une boule B(0, r 1 ) ⊂ B(0, r 0 ) telle que toute solution
Y (t, Z 0 ) de valeur initiale Z 0 ∈ B(0, r 1 ) soit asymptotiquement stable.
D´ emonstration.* Si K = R, on peut toujours ´ etendre le syst` eme ` a C
m en posant
par exemple
g(t, Y ) = g(t, Re(Y )) pour Y ∈ C
m . On se placera donc dans C
m . Il
existe alors une base (e 1 , . . . , e m ) dans laquelle A se met sous forme triangulaire
A =
λ 1 a 12 . . .
a 1m
λ 2
. . .
. . .
. . . a m−1m
. . . . . .
0 . . . . . .
λ m
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Re(λ) = 0, on a |e
λ(t−t0)
| = 1 et par suite e
(t−t0)A est non born´ ee. On voit donc que
les solutions sont asympotiquement stables si et seulement si Re(λ) < 0 et sinon
elle sont instables. En r´ esum´ e, on peut ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Soient λ 1 , . . . , λ m les valeurs propres complexes de la matrice A.
Alors les solutions du syst` eme lin´ eaire Y
= AY sont
• asymptotiquement stables si et seulement si Re(λ j ) < 0 pour tout j = 1, . . . , m.
• stables si et seulement si pour tout j, ou bien Re(λ j ) < 0, ou bien Re(λ j ) = 0 et
le bloc correspondant est diagonalisable.
½º¿º ÈÈØØØØ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ³ÙÒ ×Ý×Ø ÑÑ ÐÐÒ ÖÖ
On consid` ere dans K
m = R
m ou C
m un syst` eme de la forme
(E)
Y
= AY + g(t, Y )
o` u g : [t 0 , +∞[ × K
m
→ K
m est une fonction continue. On se propose de montrer
que si la partie lin´ eaire est asymptotiquement stable et si la perturbation g est
suffisamment petite, en un sens ` a pr´ eciser, alors les solutions de (E) sont encore
asymptotiquement stables.
Th´ eor` eme – On suppose que les valeurs propres complexes λ j de A sont de
partie r´ eelle Re λ j < 0.
(a) S’il existe une fonction k : [t 0 , +∞[ → R + continue telle que lim
t→+∞
k(t) = 0 et
∀t ∈ [t 0 , +∞[, ∀Y 1 , Y 2 ∈ K
m , g(t, Y 1 ) − g(t, Y 2 ) ≤ k(t)Y 1 − Y 2 ,
alors toute solution de (E) est asymptotiquement stable.
(b) Si g(t, 0) = 0 et s’il existe r 0 > 0 et une fonction continue k : [0, r 0 ] → R + telle
que lim
r→0
k(r) = 0 et
∀t ∈ [t 0 , +∞[, ∀Y 1 , Y 2 ∈ B(0, r), g(t, Y 1 ) − g(t, Y 2 ) ≤ k(r)Y 1 − Y 2
pour r ≤ r 0 , alors il existe une boule B(0, r 1 ) ⊂ B(0, r 0 ) telle que toute solution
Y (t, Z 0 ) de valeur initiale Z 0 ∈ B(0, r 1 ) soit asymptotiquement stable.
D´ emonstration.* Si K = R, on peut toujours ´ etendre le syst` eme ` a C
m en posant
par exemple
g(t, Y ) = g(t, Re(Y )) pour Y ∈ C
m . On se placera donc dans C
m . Il
existe alors une base (e 1 , . . . , e m ) dans laquelle A se met sous forme triangulaire
A =
λ 1 a 12 . . .
a 1m
λ 2
. . .
. . .
. . . a m−1m
. . . . . .
0 . . . . . .
λ m