X – Stabilit´ e des solutions et points singuliers
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est donn´ ee par Y (t, Z) = e
(t−t0)A
· Z. On a donc
Y (t, Z) − Y (t, Z 0 ) = e
(t−t0)A
· (Z − Z 0 )
et la stabilit´ e est li´ ee au comportement de e
(t−t0)A quand t tend vers +∞, dont la
norme |||e
(t−t0)A
||| doit rester born´ ee. Distinguons quelques cas.
• m = 1, A = (a). On a alors
|e
(t−t0)a
| = e
(t−t0) Re(a) .
Les solutions sont stables si et seulement si cette quantit´ e reste born´ ee quand t tend
vers +∞, c’est-` a-dire si Re(a) ≤ 0. De mˆ eme, les solutions sont asymptotiquement
stables si et seulement si Re(a) < 0, et on peut alors prendre
γ(t) = e
(t−t0) Re(a)
−−−−−−→
t → +∞
0.
• m quelconque. Si A est diagonalisable, on se ram` ene apr` es un changement lin´ eaire
de coordonn´ ees ` a
A =


λ 1
0
. . .
0
λ m


o` u λ 1 , . . . , λ m d´ esignent les valeurs prores de A. Le syst` eme se ram` ene aux ´ equations
ind´ ependantes y
j = λ j y j et admet pour solution
y j (t, Z) = z j e
λj (t−t0) , 1 ≤ j ≤ m.
Les solutions sont donc stables si et seulement si Re(λ j ) ≤ 0 pour tout j et
asymptotiquement stables si et seulement si Re(λ j ) < 0 pour tout j.
Si A n’est pas diagonalisable, il suffit de regarder ce qui se passe pour chaque bloc
d’une triangulation de A. Supposons donc
A =


λ
∗
. . .
0
λ

 = λI + N
o` u N est une matrice nilpotente (triangulaire sup´ erieure) non nulle. Il vient alors
e
(t−t0)A = e
(t−t0)λI
· e
(t−t0) N
= e
λ(t−t0)
m−1
k=0
(t − t 0 )
k
k!
N
k ,
donc les coefficients de e
(t−t0)A sont des produits de e
λ(t−t0) par des polynˆ omes
de degr´ e ≤ m − 1 non tous constants (car N = 0, donc le degr´ e est au moins 1).
Si Re(λ) < 0, les coefficients tendent vers 0, et si Re(λ) > 0 leur module tend
vers +∞ car la croissance de l’exponentielle l’emporte sur celle des polynˆ omes. Si