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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
La solution y(t, z 0 ) est dite asymptotiquement stable si elle est stable et si la
condition (ii’) plus forte que (ii) est satisfaite :
(ii’) Il existe une boule B(z 0 , r) et une fonction γ : [t 0 , +∞[→ R + continue avec
lim
t→+∞
γ(t) = 0 telles que pour tous z ∈ B(z 0 , r) et t ≥ t 0 on ait
y(t, z) − y(t, z 0 ) ≤ γ(t)z − z 0 .
La signification g´ eom´ etrique de ces notions de stabilit´ e est illustr´ ee par le sch´ ema
suivant.
z 0
z
z 0
z
z 0
z
y
t 0
t
solution instable
solution stable
solution asymptotiquement stable
½º¾º × ³ÙÒ ×Ý×Ø ÑÑ ÐÐÒ ÖÖ
ÓÓÓÓÓÓÓÓÒØ× ÓÒ×ØÒØ×
Nous ´ etudierons d’abord le cas le plus simple, `
a savoir le cas d’un syst` eme lin´ eaire
sans second membre
(E)
Y
= AY,
Y =



y 1
. . .
y m


 ,
A=


a 11 . . . a 1m
. . .
. . .
a m1 . . . a mm


avec y j , a ij ∈ C ; le cas r´ eel peut bien entendu ˆ etre vu comme un cas particulier du
cas complexe. La solution du probl` eme de Cauchy de condition initiale Y (t 0 ) = Z