ÔÔØÖÖ
ËØÐÐØ
× ×ÓÐÙØØÓÒ×
Ø ÔÓÓÒØ× ××ÒÒÙÐÐÐÖ× ³ÙÒ ÑÔ ÚÚÚØØÙÖ×
On se propose ici d’´ etudier le comportement des solutions d’une ´ equation diff´ erentielle et des lignes int´ egrales d’un champ de vecteurs lorsque le temps t tend vers
l’infini. On s’int´ eresse essentiellement au cas des ´ equations lin´ eaires ou voisines
de telles ´ equations. Dans ce cas, le comportement des solutions est gouvern´ e par le
signe de la partie r´ eelle des valeurs propres de la matrice associ´ ee ` a la partie lin´ eaire
de l’´ equation : une solution est dite stable si les solutions associ´ ees ` a des valeurs
voisines de la donn´ ee initiale restent proches de la solution consid´ er´ ee jusqu’` a l’infini.
Cette notion de stabilit´ e (dite aussi stabilit´ e au sens de Lyapunov) ne devra pas
ˆ etre confondue avec la notion de stabilit´ e d’une m´ ethode num´ erique, qui concerne
la stabilit´ e de l’algorithme sur un intervalle de temps fix´ e. On ´ etudie finalement
les diff´ erentes configurations possibles des lignes int´ egrales au voisinages des points
singuliers non d´ eg´ en´ er´ es d’un champ de vecteurs plan.
½º ËØÐÐØ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
½º½º ÒÒØØÓÒ×
On consid` ere le probl` eme de Cauchy associ´ e ` a une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y)
avec condition initiale y(t 0 ) = z 0 . On suppose que la solution de ce probl` eme existe
sur [t 0 , +∞[.
D´ efinition – Soit y(t, z) la solution maximale de (E) tel que y(t 0 , z) = z. On
dira que la solution y(t, z 0 ) est stable s’il existe une boule B(z 0 , r) et une constante
C ≥ 0 telles que
(i) Pour tout z ∈ B(z 0 , r), t → y(t, z) est d´ efinie sur [t 0 , +∞[ ;
(ii) Pour tous z ∈ B(z 0 , r) et t ≥ t 0 on a
y(t, z) − y(t, z 0 ) ≤ Cz − z 0 .
ËØÐÐØ
× ×ÓÐÙØØÓÒ×
Ø ÔÓÓÒØ× ××ÒÒÙÐÐÐÖ× ³ÙÒ ÑÔ ÚÚÚØØÙÖ×
On se propose ici d’´ etudier le comportement des solutions d’une ´ equation diff´ erentielle et des lignes int´ egrales d’un champ de vecteurs lorsque le temps t tend vers
l’infini. On s’int´ eresse essentiellement au cas des ´ equations lin´ eaires ou voisines
de telles ´ equations. Dans ce cas, le comportement des solutions est gouvern´ e par le
signe de la partie r´ eelle des valeurs propres de la matrice associ´ ee ` a la partie lin´ eaire
de l’´ equation : une solution est dite stable si les solutions associ´ ees ` a des valeurs
voisines de la donn´ ee initiale restent proches de la solution consid´ er´ ee jusqu’` a l’infini.
Cette notion de stabilit´ e (dite aussi stabilit´ e au sens de Lyapunov) ne devra pas
ˆ etre confondue avec la notion de stabilit´ e d’une m´ ethode num´ erique, qui concerne
la stabilit´ e de l’algorithme sur un intervalle de temps fix´ e. On ´ etudie finalement
les diff´ erentes configurations possibles des lignes int´ egrales au voisinages des points
singuliers non d´ eg´ en´ er´ es d’un champ de vecteurs plan.
½º ËØÐÐØ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
½º½º ÒÒØØÓÒ×
On consid` ere le probl` eme de Cauchy associ´ e ` a une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y)
avec condition initiale y(t 0 ) = z 0 . On suppose que la solution de ce probl` eme existe
sur [t 0 , +∞[.
D´ efinition – Soit y(t, z) la solution maximale de (E) tel que y(t 0 , z) = z. On
dira que la solution y(t, z 0 ) est stable s’il existe une boule B(z 0 , r) et une constante
C ≥ 0 telles que
(i) Pour tout z ∈ B(z 0 , r), t → y(t, z) est d´ efinie sur [t 0 , +∞[ ;
(ii) Pour tous z ∈ B(z 0 , r) et t ≥ t 0 on a
y(t, z) − y(t, z 0 ) ≤ Cz − z 0 .