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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
o` u
p n interpole les valeurs
f n = f (t n ,
y n ) et
y n−1 . La quantit´ e ε n d´ esigne
l’erreur commise ` a l’´ etape n. On suppose que f (t, y) est k-lipschizienne en y et
on note θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |.
(α) Montrer que
θ n+1 ≤
1 + kh n
1 + max
h n
h n−1
,
h n−1
h n
θ n + ε n .
(β) On suppose que le rapport de 2 pas cons´ ecutifs est major´ e par une constante
δ (avec disons 1 ≤ δ ≤ 2). ´
Etudier la stabilit´ e de la m´ ethode (M).
5.4. Dans cet exercice, on se propose d’´ etudier une m´ ethode de pr´ edictioncorrection de type PEPEC pour la r´ esolution d’un probl` eme de Cauchy
y
= f (t, y),
t∈ [t 0 , t 0 + T ]
y(t 0 ) = y 0 .
La fonction f (t, y) est suppos´ ee de classe C
4 sur [t 0 , t 0 + T ] × R et lipschitzienne de
rapport k en y. Le pas est choisi constant : h =
T
N , N ∈ N
∗ .
(a) L’objet de cette question est de d´ ecrire la m´ ethode de correction.
(α) Si z est une solution exacte du probl` eme de Cauchy, on ´ ecrit
z(t n+1 ) = z(t n ) +
tn+1
tn
f (t, z(t))dt
et on approxime l’int´ egrale par la m´ ethode de Simpson ´ el´ ementaire. Montrer
que l’algorithme correspondant s’´ ecrit
(C)
y n+1 = y n + h(αf n + βf n+
1
2
+ γf n+1 )
avec des coefficients α, β, γ que l’on pr´ ecisera.
(β) On suppose que les pentes f n , f n+
1
2
, f n+1 sont les d´ eriv´ ees exactes de z aux
points t n , t n +
h
2 , t n +h. D´ eterminer un ´ equivalent de l’erreur de consistance
e
∗
n = z(t n+1 ) − y n+1
en fonction de h et de la d´ eriv´ ee z
(5) (t n ). Quel est l’ordre de la m´ ethode (C) ?
(b) Pour pouvoir exploiter la formule (C), il est n´ ecessaire de pr´ edire des valeurs
approch´ ees py n+
1
2
et py n+1 des points y n+
1
2
et y n+1 , ainsi que les pentes
correspondantes
pf n+
1
2
= f (t n +
h
2
, py n+
1
2
), pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 ).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
o` u
p n interpole les valeurs
f n = f (t n ,
y n ) et
y n−1 . La quantit´ e ε n d´ esigne
l’erreur commise ` a l’´ etape n. On suppose que f (t, y) est k-lipschizienne en y et
on note θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |.
(α) Montrer que
θ n+1 ≤
1 + kh n
1 + max
h n
h n−1
,
h n−1
h n
θ n + ε n .
(β) On suppose que le rapport de 2 pas cons´ ecutifs est major´ e par une constante
δ (avec disons 1 ≤ δ ≤ 2). ´
Etudier la stabilit´ e de la m´ ethode (M).
5.4. Dans cet exercice, on se propose d’´ etudier une m´ ethode de pr´ edictioncorrection de type PEPEC pour la r´ esolution d’un probl` eme de Cauchy
y
= f (t, y),
t∈ [t 0 , t 0 + T ]
y(t 0 ) = y 0 .
La fonction f (t, y) est suppos´ ee de classe C
4 sur [t 0 , t 0 + T ] × R et lipschitzienne de
rapport k en y. Le pas est choisi constant : h =
T
N , N ∈ N
∗ .
(a) L’objet de cette question est de d´ ecrire la m´ ethode de correction.
(α) Si z est une solution exacte du probl` eme de Cauchy, on ´ ecrit
z(t n+1 ) = z(t n ) +
tn+1
tn
f (t, z(t))dt
et on approxime l’int´ egrale par la m´ ethode de Simpson ´ el´ ementaire. Montrer
que l’algorithme correspondant s’´ ecrit
(C)
y n+1 = y n + h(αf n + βf n+
1
2
+ γf n+1 )
avec des coefficients α, β, γ que l’on pr´ ecisera.
(β) On suppose que les pentes f n , f n+
1
2
, f n+1 sont les d´ eriv´ ees exactes de z aux
points t n , t n +
h
2 , t n +h. D´ eterminer un ´ equivalent de l’erreur de consistance
e
∗
n = z(t n+1 ) − y n+1
en fonction de h et de la d´ eriv´ ee z
(5) (t n ). Quel est l’ordre de la m´ ethode (C) ?
(b) Pour pouvoir exploiter la formule (C), il est n´ ecessaire de pr´ edire des valeurs
approch´ ees py n+
1
2
et py n+1 des points y n+
1
2
et y n+1 , ainsi que les pentes
correspondantes
pf n+
1
2
= f (t n +
h
2
, py n+
1
2
), pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 ).