IX – M´ ethodes `
a pas multiples
277
(c) Montrer que pour |t| < 1 on a
1
0
(1 − t)
−s ds =
+∞
r=0
γ r t
r .
En d´ eduire la valeur de l’expression log (1−t)
+∞
r=0
γ r t
r , puis la valeur des sommes
γ 0
r + 1
+
γ 1
r
+ . . . +
γ r−1
2
+ γ r .
(d) ´
Ecrire un programme informatique mettant en œuvre la m´ ethode d’AdamsBashforth `
a un nombre arbitraire de pas. On utilisera les formules de r´ ecurrence
ci-dessus pour ´ evaluer γ r et b i,r . L’initialisation sera faite au moyen de la
m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre 4.
(e) D´ emontrer des formules analogues `
a celles de (a), (b), (c) pour la m´ ethode
d’Adams-Moulton.
5.3. Soit `
a r´ esoudre num´ eriquement un probl` eme de Cauchy
y
= f (t, y), y(t 0 ) = y 0
o` u f est de classe C
2 sur [t 0 , t 0 + T ] × R. On se donne une subdivision
t 0 < t 1 < . . . < t N = t 0 + T
de l’intervalle, et on ´ etudie la m´ ethode num´ erique suivante : si y n est la valeur
approch´ ee de la solution au temps t n et si f n = f (t n , y n ) on pose
(M)
y n+1 = y n−1 +
tn+1
tn−1
p n (t)dt
o` u p n est le polynˆ ome d’interpolation des pentes f n , f n−1 aux temps t n et t n−1 .
On note h n = t n+1 − t n .
(a) Calculer explicitement y n+1 . Quelle m´ ethode obtient-on lorsque le pas h n = h
est constant ?
(b) Soit z une solution exacte de l’´ equation diff´ erentielle.
D´ eterminer un ´ equivalent de l’erreur de consistance e n attach´ ee ` a la m´ ethode
(M). Quel est l’ordre de cette m´ ethode ? Comment proc´ ederiez-vous pour la
phase d’initialisation ?
(c) Soit une suite
y n v´ erifiant la relation de r´ ecurrence
y n+1 =
y n−1 +
tn+1
tn−1
p n (t)dt + ε n
a pas multiples
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(c) Montrer que pour |t| < 1 on a
1
0
(1 − t)
−s ds =
+∞
r=0
γ r t
r .
En d´ eduire la valeur de l’expression log (1−t)
+∞
r=0
γ r t
r , puis la valeur des sommes
γ 0
r + 1
+
γ 1
r
+ . . . +
γ r−1
2
+ γ r .
(d) ´
Ecrire un programme informatique mettant en œuvre la m´ ethode d’AdamsBashforth `
a un nombre arbitraire de pas. On utilisera les formules de r´ ecurrence
ci-dessus pour ´ evaluer γ r et b i,r . L’initialisation sera faite au moyen de la
m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre 4.
(e) D´ emontrer des formules analogues `
a celles de (a), (b), (c) pour la m´ ethode
d’Adams-Moulton.
5.3. Soit `
a r´ esoudre num´ eriquement un probl` eme de Cauchy
y
= f (t, y), y(t 0 ) = y 0
o` u f est de classe C
2 sur [t 0 , t 0 + T ] × R. On se donne une subdivision
t 0 < t 1 < . . . < t N = t 0 + T
de l’intervalle, et on ´ etudie la m´ ethode num´ erique suivante : si y n est la valeur
approch´ ee de la solution au temps t n et si f n = f (t n , y n ) on pose
(M)
y n+1 = y n−1 +
tn+1
tn−1
p n (t)dt
o` u p n est le polynˆ ome d’interpolation des pentes f n , f n−1 aux temps t n et t n−1 .
On note h n = t n+1 − t n .
(a) Calculer explicitement y n+1 . Quelle m´ ethode obtient-on lorsque le pas h n = h
est constant ?
(b) Soit z une solution exacte de l’´ equation diff´ erentielle.
D´ eterminer un ´ equivalent de l’erreur de consistance e n attach´ ee ` a la m´ ethode
(M). Quel est l’ordre de cette m´ ethode ? Comment proc´ ederiez-vous pour la
phase d’initialisation ?
(c) Soit une suite
y n v´ erifiant la relation de r´ ecurrence
y n+1 =
y n−1 +
tn+1
tn−1
p n (t)dt + ε n