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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
En d´ eduire que si |β
|kh < 1 on a
θ n+1 ≤
1 +
(|β| + |β
| + |β
|)kh
1 − |β |kh
(θ n + |ε n |).
(β) En d´ eduire l’existence d’une constante de stabilit´ e S(h), qui reste born´ ee
quand h tend vers 0, telle que
θ N ≤ S(h)
θ 1 +
N −1
k=1
|ε n |
.
(e) D´ eterminer en fonction de α les m´ ethodes (M) qui sont d’ordre 3 ; on notera
celles-ci (M
3
α ). A quoi correspond (M
3
0 ) ? Existe-t-il une m´ ethode (M
3
α ) qui soit
explicite et stable ?
Montrer qu’il existe une unique m´ ethode (M
3
α1 ) pour laquelle β = 0.
(f) (α) Expliciter l’algorithme PECE dont le pr´ edicteur est la m´ ethode de Nystr¨ om
et dont le correcteur est la m´ ethode (M
3
α1 ).
L’initialisation sera faite au moyen de la m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre
4 usuelle.
(β) ´
Ecrire un programme informatique mettant en œuvre l’algorithme pr´ ec´ edent
dans le cas de la fonction f (t, y) = sin(ty − y
2 ).
L’utilisateur fournit la donn´ ee initiale (t 0 , y 0 ), le pas h, et le nombre N
d’it´ erations. L’ordinateur affichera alors les valeurs (t n , y n ) successives pour
0 ≤ n ≤ N .
5.2. L’objet de ce probl` eme est d’´ etudier les m´ ethodes d’Adams-Bashforth et
d’Adams-Moulton avec pas constant.
(a) Montrer que la m´ ethode d’Adams-Bashforth `
a (r + 1) pas, de pas constant h,
s’´ ecrit
y n+1 = y n + h
r
i=0
b i,r f (t n−i , y n−i )
avec
b i,r = (−1)
i
1
0
s(s + 1) . . .
(s + i) . . . (s + r)
i!(r − i)!
, 0 ≤ i ≤ r.
(b) On pose
γ r =
1
0
s(s + 1) . . . (s + r − 1)
r!
ds.
D´ emontrer les formules
b i,r − b i,r−1 = (−1)
i C
i
r γ r , 0 ≤ i ≤ r − 1,
b r,r = (−1)
r γ r .