IX – M´ ethodes `
a pas multiples
275
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. On consid` ere le probl` eme de Cauchy y
(t) = f (t, y(t)), y(t 0 ) = y 0 , o` u
f : [t 0 , t 0 +T ]×R → R est une fonction de classe C
5 . Pour r´ esoudre num´ eriquement
ce probl` eme, on se donne un entier N ≥ 2 et on consid` ere la subdivision t n = t 0 +nh,
0 ≤ n ≤ N , de pas constant h =
T
N .
On ´ etudie les m´ ethodes ` a 2 pas de la forme
(M)
y n+1 = αy n−1 + α
y n + h(βf n−1 + β
f n + β
f n+1 ),
avec f n = f (t n , y n ). La m´ ethode est donc explicite si β
= 0 et implicite si β
= 0.
(a) Soit g une fonction de classe C
5 au voisinage de 0.
Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 4 en h = 0 de la quantit´ e
∆(h) = g(h) − [αg(−h) + α
g(0) + h(βg
(−h) + β
g
(0) + β
g
(h))].
´
Ecrire la condition n´ ecessaire et suffisante pour que la m´ ethode (M) soit d’ordre
≥ 1 (respectivement ≥ 2, ≥ 3, ≥ 4). Montrer que la seule m´ ethode (M) qui soit
d’ordre ≥ 4 est
(M
4 )
y n+1 = y n−1 + h
1
3
f n−1 +
4
3
f n +
1
3
f n+1
.
Quelle interpr´ etation peut-on donner de cette m´ ethode ?
NB : Dans les questions qui suivent, on supposera sans le repr´ eciser chaque fois que
les m´ ethodes (M) ´ etudi´ ees sont d’ordre 1 au moins.
(b) On cherche `
a tester la stabilit´ e de la m´ ethode (M) en consid´ erant l’´ equation
diff´ erentielle triviale y
= 0.
Les r´ eels y 0 et y 1 = y 0 + ε ´ etant donn´ es a priori, exprimer y n en fonction de y 0 ,
ε, α, n. En d´ eduire qu’une condition n´ ecessaire pour que la m´ ethode (M) soit
stable est que −1 < α ≤ 1.
(c) On se propose ici de montrer inversement que la m´ ethode (M) est stable, si
0 ≤ α ≤ 1 et si h est assez petit. On suppose que pour tout t ∈ [t 0 , t 0 + T ] la
fonction y → f (t, y) est k-lipschitzienne. Soient deux suite (y n ) et (z n ) telles
que pour n ≥ 1 on ait
y n+1 = αy n−1 + α
y n + h(βf (t n−1 , y n−1 ) + β
f (t n , y n ) + β
f (t n+1 , y n+1 )),
z n+1 = αz n−1 + α
z n + h(βf (t n−1 , z n−1 ) + β
f (t n , z n ) + β
f (t n+1 , z n+1 )) + ε n .
On pose
θ n = max
0≤i≤n
|z i − y i |.
(α) Majorer |z n+1 − y n+1 | en fonction de θ n , θ n+1 et ε n .
a pas multiples
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º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. On consid` ere le probl` eme de Cauchy y
(t) = f (t, y(t)), y(t 0 ) = y 0 , o` u
f : [t 0 , t 0 +T ]×R → R est une fonction de classe C
5 . Pour r´ esoudre num´ eriquement
ce probl` eme, on se donne un entier N ≥ 2 et on consid` ere la subdivision t n = t 0 +nh,
0 ≤ n ≤ N , de pas constant h =
T
N .
On ´ etudie les m´ ethodes ` a 2 pas de la forme
(M)
y n+1 = αy n−1 + α
y n + h(βf n−1 + β
f n + β
f n+1 ),
avec f n = f (t n , y n ). La m´ ethode est donc explicite si β
= 0 et implicite si β
= 0.
(a) Soit g une fonction de classe C
5 au voisinage de 0.
Calculer un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 4 en h = 0 de la quantit´ e
∆(h) = g(h) − [αg(−h) + α
g(0) + h(βg
(−h) + β
g
(0) + β
g
(h))].
´
Ecrire la condition n´ ecessaire et suffisante pour que la m´ ethode (M) soit d’ordre
≥ 1 (respectivement ≥ 2, ≥ 3, ≥ 4). Montrer que la seule m´ ethode (M) qui soit
d’ordre ≥ 4 est
(M
4 )
y n+1 = y n−1 + h
1
3
f n−1 +
4
3
f n +
1
3
f n+1
.
Quelle interpr´ etation peut-on donner de cette m´ ethode ?
NB : Dans les questions qui suivent, on supposera sans le repr´ eciser chaque fois que
les m´ ethodes (M) ´ etudi´ ees sont d’ordre 1 au moins.
(b) On cherche `
a tester la stabilit´ e de la m´ ethode (M) en consid´ erant l’´ equation
diff´ erentielle triviale y
= 0.
Les r´ eels y 0 et y 1 = y 0 + ε ´ etant donn´ es a priori, exprimer y n en fonction de y 0 ,
ε, α, n. En d´ eduire qu’une condition n´ ecessaire pour que la m´ ethode (M) soit
stable est que −1 < α ≤ 1.
(c) On se propose ici de montrer inversement que la m´ ethode (M) est stable, si
0 ≤ α ≤ 1 et si h est assez petit. On suppose que pour tout t ∈ [t 0 , t 0 + T ] la
fonction y → f (t, y) est k-lipschitzienne. Soient deux suite (y n ) et (z n ) telles
que pour n ≥ 1 on ait
y n+1 = αy n−1 + α
y n + h(βf (t n−1 , y n−1 ) + β
f (t n , y n ) + β
f (t n+1 , y n+1 )),
z n+1 = αz n−1 + α
z n + h(βf (t n−1 , z n−1 ) + β
f (t n , z n ) + β
f (t n+1 , z n+1 )) + ε n .
On pose
θ n = max
0≤i≤n
|z i − y i |.
(α) Majorer |z n+1 − y n+1 | en fonction de θ n , θ n+1 et ε n .