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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Le d´ emarrage de l’algorithme n´ ecessite le calcul pr´ ealable des quantit´ es y 1 , . . . , y r ,
pf 0 , . . . , pf r .
Erreur de consistance* – L’algorithme PEC n’entre pas tout `
a fait dans le
cadre g´ en´ eral des m´ ethodes que nous avons consid´ er´ ees jusqu’` a pr´ esent. Il convient
de red´ efinir e n comme suit. Si z est une solution exacte, on pose
e n = z(t n+1 ) − y n+1
o` u y n+1 est calcul´ ee ` a partir des valeurs ant´ erieures py n−i = y n−i = z(t n−i ),
0 ≤ i ≤ r. Avec cette d´ efinition, il est facile de voir que l’erreur de consistance
est identique ` a celle de la m´ ethode PECE, d’o` u
|e n | ≤
1 + |b
∗
n,−1,r |kh n
|e
∗
n | + |b
∗
n,−1,r |kh n |pe n |.
Le correcteur ´ etant d’ordre r + 2, on choisira ici encore le pr´ edicteur d’ordre r + 1.
Stabilit´ e de la m´ ethode PEC* – Avec les notations et hypoth` eses du § 4.4,
consid´ erons une suite perturb´ ee
y n telle que
y n+1 =
y n + h n
−1≤i≤r
b
∗
n,i,r p
f n−i + ε n
et posons θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |, pθ n = max
0≤i≤n
|p y i − py i |. Il vient :
pθ n+1 ≤ Aθ n + Bkh n pθ n
θ n+1 ≤ θ n + β
∗
r kh n pθ n+1 + |ε n |.
La premi` ere ligne entraˆ ıne
pθ n+1 ≤ Aθ n + Bkh max pθ n+1 ,
d’o` u pθ n+1 ≤
A
1−Bkhmax θ n si Bkh max < 1. En substituant dans la deuxi` eme ligne
il vient :
θ n+1 ≤
1 +
β
∗
r Ak
1 − Bkh max
h n
θ n + |ε n |.
Le lemme de Gronwall donne la constante de stabilit´ e
S = exp
β
∗
r AkT
1 − Bkh max
.
Si h max est assez petit, on aura
S exp (β
∗
r AkT ).
Ceci est un peu moins bon que dans le cas de la m´ ethode PECE, car γ
∗
r < β
∗
r .
N´ eanmoins, pour A = 1 la constante de stabilit´ e est la mˆ eme :
S exp (β
∗
r kT ),
c’est-` a-dire pr´ ecis´ ement la constante de stabilit´ e de la m´ ethode d’Adams-Moulton
seule. Par rapport `
a PECE, on ´ economise donc un peu de temps de calcul, mais on
perd un peu en stabilit´ e et en pr´ ecision.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Le d´ emarrage de l’algorithme n´ ecessite le calcul pr´ ealable des quantit´ es y 1 , . . . , y r ,
pf 0 , . . . , pf r .
Erreur de consistance* – L’algorithme PEC n’entre pas tout `
a fait dans le
cadre g´ en´ eral des m´ ethodes que nous avons consid´ er´ ees jusqu’` a pr´ esent. Il convient
de red´ efinir e n comme suit. Si z est une solution exacte, on pose
e n = z(t n+1 ) − y n+1
o` u y n+1 est calcul´ ee ` a partir des valeurs ant´ erieures py n−i = y n−i = z(t n−i ),
0 ≤ i ≤ r. Avec cette d´ efinition, il est facile de voir que l’erreur de consistance
est identique ` a celle de la m´ ethode PECE, d’o` u
|e n | ≤
1 + |b
∗
n,−1,r |kh n
|e
∗
n | + |b
∗
n,−1,r |kh n |pe n |.
Le correcteur ´ etant d’ordre r + 2, on choisira ici encore le pr´ edicteur d’ordre r + 1.
Stabilit´ e de la m´ ethode PEC* – Avec les notations et hypoth` eses du § 4.4,
consid´ erons une suite perturb´ ee
y n telle que
y n+1 =
y n + h n
−1≤i≤r
b
∗
n,i,r p
f n−i + ε n
et posons θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |, pθ n = max
0≤i≤n
|p y i − py i |. Il vient :
pθ n+1 ≤ Aθ n + Bkh n pθ n
θ n+1 ≤ θ n + β
∗
r kh n pθ n+1 + |ε n |.
La premi` ere ligne entraˆ ıne
pθ n+1 ≤ Aθ n + Bkh max pθ n+1 ,
d’o` u pθ n+1 ≤
A
1−Bkhmax θ n si Bkh max < 1. En substituant dans la deuxi` eme ligne
il vient :
θ n+1 ≤
1 +
β
∗
r Ak
1 − Bkh max
h n
θ n + |ε n |.
Le lemme de Gronwall donne la constante de stabilit´ e
S = exp
β
∗
r AkT
1 − Bkh max
.
Si h max est assez petit, on aura
S exp (β
∗
r AkT ).
Ceci est un peu moins bon que dans le cas de la m´ ethode PECE, car γ
∗
r < β
∗
r .
N´ eanmoins, pour A = 1 la constante de stabilit´ e est la mˆ eme :
S exp (β
∗
r kT ),
c’est-` a-dire pr´ ecis´ ement la constante de stabilit´ e de la m´ ethode d’Adams-Moulton
seule. Par rapport `
a PECE, on ´ economise donc un peu de temps de calcul, mais on
perd un peu en stabilit´ e et en pr´ ecision.