IX – M´ ethodes `
a pas multiples
273
Posons θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i | et pθ n = |p y n − py n |. Comme f (t, y) est suppos´ ee
k-lipschitzienne en y, il vient :
pθ n+1 ≤ Aθ n + h n Bkθ n
θ n+1 ≤ θ n + kh n
|b
∗
n,−1,r |pθ n+1 +
0≤i≤r
|b
∗
n,i,r |θ n
+ |ε n |.
En substituant pθ n+1 ≤ θ n + θ n (A − 1 + Bkh n ) dans la deuxi` eme ligne il vient
θ n+1 ≤ θ n
1 +
−1≤i≤r
|b
∗
n,i,r | + |b
∗
n,−1,r |(A − 1 + Bkh n )
kh n
+ |ε n |,
θ n+1 ≤ θ n (1 + Λh n ) + |ε n |,
avec Λ = (β
∗
r + γ
∗
r (A − 1 + Bkh max ))k. Le lemme de Gronwall montre donc que la
m´ ethode PECE est stable, avec constante de stabilit´ e
S = e
ΛT = exp
(β
∗
r + γ
∗
r (A − 1 + Bkh max )kT
.
Si h max est petit, on va avoir
S exp
(β
∗
r + γ
∗
r (A − 1))kT
.
On voit que la stabilit´ e du pr´ edicteur n’a pas d’incidence sur la stabilit´ e de la
m´ ethode PECE, seule la valeur de la constante A peut influer sur cette stabilit´ e ;
on pourrait en th´ eorie utiliser un pr´ edicteur instable ! La consistance du pr´ edicteur
implique
i
α n,i = 1. Si les coefficients α n,i sont ≥ 0, alors on a A = 1 (c’est le
cas des m´ ethodes de Nystr¨ om, Milne, ou AB r+1 ), par cons´ equent la constante de
stabilit´ e
S exp (β
∗
r kT )
sera peu diff´ erente de celle de la m´ ethode d’Adams-Moulton seule. On obtient donc
des m´ ethodes assez stables, d’un coˆ ut mod´ er´ e en temps de calcul et d’ordre aussi
´ elev´ e que l’on veut. Par comparaison avec les m´ ethodes de Runge-Kutta, elles sont
un peu plus rapides mais un peu moins stables `
a ordre ´ egal.
ººº Å ØØÓÓÓ× ÈÈÈ
Comme leur nom l’indique, il s’agit de m´ ethodes de pr´ ediction-correction dans
lesquelles la derni` ere ´ etape d’´ evaluation est omise (en vue bien sˆ ur de gagner du
temps). Ceci signifie que les pentes corrig´ ees f n+1 ne sont pas calcul´ ees, il faudra
donc se contenter de faire intervenir les pentes pr´ edites pf n−i . On obtient alors
l’algorithme suivant :
Pr´ ediction : py n+1 =
0≤i≤r
α n,i y n−i + h n
0≤i≤r
β n,i pf n−i
t n+1 = t n + h n
Evaluation : pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 )
Correction : y n+1 = y n + h n
−1≤i≤r
b
∗
n,i,r pf n−i .
a pas multiples
273
Posons θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i | et pθ n = |p y n − py n |. Comme f (t, y) est suppos´ ee
k-lipschitzienne en y, il vient :
pθ n+1 ≤ Aθ n + h n Bkθ n
θ n+1 ≤ θ n + kh n
|b
∗
n,−1,r |pθ n+1 +
0≤i≤r
|b
∗
n,i,r |θ n
+ |ε n |.
En substituant pθ n+1 ≤ θ n + θ n (A − 1 + Bkh n ) dans la deuxi` eme ligne il vient
θ n+1 ≤ θ n
1 +
−1≤i≤r
|b
∗
n,i,r | + |b
∗
n,−1,r |(A − 1 + Bkh n )
kh n
+ |ε n |,
θ n+1 ≤ θ n (1 + Λh n ) + |ε n |,
avec Λ = (β
∗
r + γ
∗
r (A − 1 + Bkh max ))k. Le lemme de Gronwall montre donc que la
m´ ethode PECE est stable, avec constante de stabilit´ e
S = e
ΛT = exp
(β
∗
r + γ
∗
r (A − 1 + Bkh max )kT
.
Si h max est petit, on va avoir
S exp
(β
∗
r + γ
∗
r (A − 1))kT
.
On voit que la stabilit´ e du pr´ edicteur n’a pas d’incidence sur la stabilit´ e de la
m´ ethode PECE, seule la valeur de la constante A peut influer sur cette stabilit´ e ;
on pourrait en th´ eorie utiliser un pr´ edicteur instable ! La consistance du pr´ edicteur
implique
i
α n,i = 1. Si les coefficients α n,i sont ≥ 0, alors on a A = 1 (c’est le
cas des m´ ethodes de Nystr¨ om, Milne, ou AB r+1 ), par cons´ equent la constante de
stabilit´ e
S exp (β
∗
r kT )
sera peu diff´ erente de celle de la m´ ethode d’Adams-Moulton seule. On obtient donc
des m´ ethodes assez stables, d’un coˆ ut mod´ er´ e en temps de calcul et d’ordre aussi
´ elev´ e que l’on veut. Par comparaison avec les m´ ethodes de Runge-Kutta, elles sont
un peu plus rapides mais un peu moins stables `
a ordre ´ egal.
ººº Å ØØÓÓÓ× ÈÈÈ
Comme leur nom l’indique, il s’agit de m´ ethodes de pr´ ediction-correction dans
lesquelles la derni` ere ´ etape d’´ evaluation est omise (en vue bien sˆ ur de gagner du
temps). Ceci signifie que les pentes corrig´ ees f n+1 ne sont pas calcul´ ees, il faudra
donc se contenter de faire intervenir les pentes pr´ edites pf n−i . On obtient alors
l’algorithme suivant :
Pr´ ediction : py n+1 =
0≤i≤r
α n,i y n−i + h n
0≤i≤r
β n,i pf n−i
t n+1 = t n + h n
Evaluation : pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 )
Correction : y n+1 = y n + h n
−1≤i≤r
b
∗
n,i,r pf n−i .