272
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
• Pr´ edicteur : Nystr¨ om (ordre 2) avec pas constant h n = h,
Correcteur : AM 2 (ordre 3).

    
    
P : py n+1 = y n−1 + 2hf n
E : pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 )
C : y n+1 = y n + h
5
12 pf n+1 +
8
12 f n −
1
12 f n−1
E : f n+1 = f (t n+1 , y n+1 )
• Pr´ edicteur : AB r+1 (ordre r + 1), Correcteur : AM r+1 (ordre r + 2).

       
       
P : py n+1 = y n + h n
0≤i≤r
b n,i,r f n−i
E : pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 )
C : y n+1 = y n + h n
b
∗
n,−1,r pf n+1 +
0≤i≤r
b
∗
n,i,r f n−i
E : f n+1 = f (t n+1 , y n+1 ).
Exercice – V´ erifier que ce dernier algorithme PECE ´ equivaut `
a la m´ ethode
d’Adams-Moulton dans laquelle l’algorithme it´ eratif est arrˆ et´ e ` a la premi` ere ´ etape,
soit y n+1 = x 1 , calcul´ e ` a partir de la valeur x 0 fourni par la m´ ethode d’AdamsBashforth.
ººº ËØÐÐØ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ ÈÈÈÈ
Supposons que le pr´ edicteur soit de la forme
py n =
0≤i≤r
α n,i y n−i + h n
0≤i≤r
β n,i f n−i
et notons
A = max
n
i
|α n,i |,
B = max
n
i
|β n,i |.
Soit
y n une suite perturb´ ee telle que

   
   
p y n+1 =
0≤i≤r
α n,i
y n−i + h n
0≤i≤r
β n,i
f n−i
y n+1 =
y n + h n
b
∗
n,−1,r p
f n+1 +
0≤i≤r
b
∗
n,i,r
f n−i
+ ε n .
Remarque – Dans la r´ ealit´ e il s’introduit ´ egalement une erreur d’arrondi pε n au
niveau de la pr´ ediction, mais pour notre calcul il sera plus simple de comptabiliser
cette erreur dans ε n (ceci n’est visiblement pas restrictif).