IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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Le pr´ edicteur introduit lui aussi une erreur de consistance
pe n = z(t n+1 ) − py n+1 .
´
Ecrivons
e n = (z(t n+1 ) − y
∗
n+1 ) + (y
∗
n+1 − y n+1 )
e n = e
∗
n + (y
∗
n+1 − y n+1 ).
On a par ailleurs
y
∗
n+1 − y n+1 = h n b
∗
n,−1,r (f
∗
n+1 − pf n+1 ).
Si f (t, y) est k-lipschitzienne en y, on en d´ eduit
|y
∗
n+1 − y n+1 | ≤ h n |b
∗
n,−1,r | k |y
∗
n+1 − py n+1 |
et y
∗
n+1 − py n+1 = (z(t n+1 ) − py n+1 ) − (z(t n+1 ) − y
∗
n+1 ), d’o` u
|y
∗
n+1 − py n+1 | ≤ |pe n | + |e
∗
n |.
Il en r´ esulte finalement
|y
∗
n+1 − y n+1 | ≤ |b
∗
n,−1,r | kh n (|pe n | + |e
∗
n |)
|e n | ≤ |e
∗
n | + |y
∗
n+1 − y n+1 |
|e n | ≤
1 + |b
∗
n,−1,r |kh n
|e
∗
n | + |b
∗
n,−1,r | kh n |pe n |.
On voit que l’influence du pr´ edicteur est nettement moindre que celle du correcteur
puisque son erreur de consistance est en facteur d’un terme O(h n ). Le correcteur
AM r+1 ´ etant d’ordre r + 2 (c’est-` a-dire |e
∗
n | ≤ Ch n h
r+2
max ), on voit qu’il convient
de choisir un pr´ edicteur d’ordre r + 1. Les contributions de |e
∗
n | et |pe n | dans |e n |
seront alors toutes deux ≤ Ch n h
r+2
max , l’ordre global de PECE est donc r + 2 dans ce
cas.
º¿º ÜÜÑÔÐÐ×
• Pr´ edicteur : Euler (ordre 1), Correcteur : AM 1 (ordre 2).

   
   
P : py n+1 = y n + h n f n
E : pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 )
C : y n+1 = y n + h n
1
2 pf n+1 +
1
2 f n
E : f n+1 = f (t n+1 , y n+1 )
Cet algorithme co¨ ıncide avec la m´ ethode de Heun, qui n’est autre que la m´ ethode
de Runge-Kutta d´ efinie par
0
0 0
1
0 1
1
2
1
2
.