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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
º Å ØØÓÓÓ× ÔÖ ØØÓÒ¹¹ÓÖÖÖÖØØÓÒ
º½º ÈÖÖÒÒÒÔÔ Ò ÖÖÐ
On se donne une m´ ethode dite de pr´ ediction (ou pr´ edicteur), fournissant (explicitement) une premi` ere valeur approch´ ee py n+1 du point y n+1 ` a atteindre :
py n+1 = pr´ ediction de y n+1 ,
pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 ) = pr´ ediction de f n+1 .
En substituant la valeur pf n+1 ainsi trouv´ ee ` a f n+1 dans la formule d’AdamsMoulton, on obtient alors une nouvelle valeur corrig´ ee y n+1 qui est retenue en
vue des calculs ult´ erieurs.
De fa¸ con pr´ ecise, une m´ ethode PECE (pr´ ediction, ´ evaluation, correction, ´ evaluation)
` a r + 1 pas va s’´ ecrire de la mani` ere suivante : y n−r , f n−r , . . . , y n , f n ´ etant d´ ej` a
calcul´ es, on pose
Pr´ ediction : py n+1 = . . . (` a partir des y n−i , f n−i , 0 ≤ i ≤ r)
t n+1 = t n + h n
Evaluation : pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 )
Correction : y n+1 = y n + h n
b
∗
n,−1,r pf n+1 +
0≤i≤r b
∗
n,i,r f n−i
Evaluation : f n+1 = f (t n+1 , y n+1 )
Nous avons utilis´ e ici la m´ ethode d’Adams-Moulton comme correcteur, mais cela
pourrait ˆ etre a priori n’importe quelle autre m´ ethode implicite.
Ici encore, le d´ emarrage de l’algorithme PECE n´ ecessite le calcul pr´ ealable des
points y 1 , . . . , y r et des pentes f 0 , . . . , f r ` a l’aide d’une m´ ethode ` a 1 pas. On peut
estimer que le coˆ ut en temps de calcul d’une m´ ethode PECE est environ le double de
celui d’une m´ ethode d’Adams-Bashforth d’ordre ´ egal (mais on verra que la stabilit´ e
est beaucoup meilleure). Ce temps de calcul est en g´ en´ eral inf´ erieur ` a celui des
m´ ethodes de Runge-Kutta sophistiqu´ ees (d’ordre ≥ 3).
º¾º ÖÖÖÙÖ ÓÒ×××ØÒÒÒ Ò× ÈÈÈÈ
Soit z une solution exacte du probl` eme de Cauchy. L’erreur de consistance est
e n = z(t n+1 ) − y n+1 avec y n−i = z(t n−i ), 0 ≤ i ≤ r.
Soit y
∗
n+1 la valeur qui serait obtenue `
a l’aide du seul correcteur (Adams-Moulton),
de sorte que
y
∗
n+1 = y n + h n
b
∗
n,−1,r f
∗
n+1 +
0≤i≤r
b
∗
n,i,r f n,i
f
∗
n+1 = f (t n+1 , y
∗
n+1 ).
L’erreur de consistance correspondante est
e
∗
n = z(t n+1 ) − y
∗
n+1 .
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
º Å ØØÓÓÓ× ÔÖ ØØÓÒ¹¹ÓÖÖÖÖØØÓÒ
º½º ÈÖÖÒÒÒÔÔ Ò ÖÖÐ
On se donne une m´ ethode dite de pr´ ediction (ou pr´ edicteur), fournissant (explicitement) une premi` ere valeur approch´ ee py n+1 du point y n+1 ` a atteindre :
py n+1 = pr´ ediction de y n+1 ,
pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 ) = pr´ ediction de f n+1 .
En substituant la valeur pf n+1 ainsi trouv´ ee ` a f n+1 dans la formule d’AdamsMoulton, on obtient alors une nouvelle valeur corrig´ ee y n+1 qui est retenue en
vue des calculs ult´ erieurs.
De fa¸ con pr´ ecise, une m´ ethode PECE (pr´ ediction, ´ evaluation, correction, ´ evaluation)
` a r + 1 pas va s’´ ecrire de la mani` ere suivante : y n−r , f n−r , . . . , y n , f n ´ etant d´ ej` a
calcul´ es, on pose
Pr´ ediction : py n+1 = . . . (` a partir des y n−i , f n−i , 0 ≤ i ≤ r)
t n+1 = t n + h n
Evaluation : pf n+1 = f (t n+1 , py n+1 )
Correction : y n+1 = y n + h n
b
∗
n,−1,r pf n+1 +
0≤i≤r b
∗
n,i,r f n−i
Evaluation : f n+1 = f (t n+1 , y n+1 )
Nous avons utilis´ e ici la m´ ethode d’Adams-Moulton comme correcteur, mais cela
pourrait ˆ etre a priori n’importe quelle autre m´ ethode implicite.
Ici encore, le d´ emarrage de l’algorithme PECE n´ ecessite le calcul pr´ ealable des
points y 1 , . . . , y r et des pentes f 0 , . . . , f r ` a l’aide d’une m´ ethode ` a 1 pas. On peut
estimer que le coˆ ut en temps de calcul d’une m´ ethode PECE est environ le double de
celui d’une m´ ethode d’Adams-Bashforth d’ordre ´ egal (mais on verra que la stabilit´ e
est beaucoup meilleure). Ce temps de calcul est en g´ en´ eral inf´ erieur ` a celui des
m´ ethodes de Runge-Kutta sophistiqu´ ees (d’ordre ≥ 3).
º¾º ÖÖÖÙÖ ÓÒ×××ØÒÒÒ Ò× ÈÈÈÈ
Soit z une solution exacte du probl` eme de Cauchy. L’erreur de consistance est
e n = z(t n+1 ) − y n+1 avec y n−i = z(t n−i ), 0 ≤ i ≤ r.
Soit y
∗
n+1 la valeur qui serait obtenue `
a l’aide du seul correcteur (Adams-Moulton),
de sorte que
y
∗
n+1 = y n + h n
b
∗
n,−1,r f
∗
n+1 +
0≤i≤r
b
∗
n,i,r f n,i
f
∗
n+1 = f (t n+1 , y
∗
n+1 ).
L’erreur de consistance correspondante est
e
∗
n = z(t n+1 ) − y
∗
n+1 .