IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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et posons θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |. Comme on a θ n+1 = max (| y n+1 − y n+1 |, θ n ), il vient
θ n+1 ≤ θ n + kh n
|b
∗
n,−1,r |θ n+1 +
0≤i≤r
|b
∗
n,i,r |θ n
+ |ε n |,
θ n+1 (1 − |b
∗
n,−1,r |kh n ) ≤ θ n
1 +
0≤i≤r
|b
∗
n,i,r |kh n
+ |ε n |
≤
1 +
0≤i≤r
|b
∗
n,i,r |kh n
(θ n + |ε n |).
Or 1 − |b
∗
n,−1,r |kh n ≥ 1 − γ
∗
r kh max > 0, par suite
θ n+1 ≤
1 +
0≤i≤r
|b
∗
n,i,r |kh n
1 − |b ∗
n,−1,r |kh n
(θ n + |ε n |),
θ n+1 ≤



 1 +
−1≤i≤r
|b
∗
n,i,r |kh n
1 − |b ∗
n,−1,r |kh n



 (θ n + |ε n |),
θ n+1 ≤ (1 + Λh n )(θ n + |ε n |),
avec Λ = β
∗
r k/(1 − γ
∗
r kh max ). Un raisonnement analogue `
a la d´ emonstration du
lemme de Gronwall discret donne par r´ ecurrence sur n :
θ n ≤ e
Λ(tn−tr)
θ r +
r≤i≤n
|ε i |
,
d’o` u la constante de stabilit´ e
S = e
ΛT = exp
β
∗
r kT
1 − γ ∗
r kh max
Lorsque h max est assez petit devant 1/γ
∗
r k, on a donc sensiblement
S exp (β
∗
r kT ).
Le tableau du § 3.1 montre qu’` a ordre r + 2 ´ egal, la m´ ethode AM r+1 est beaucoup
plus stable que AB r+2 . Il n’en reste pas moins que malgr´ e cet avantage important,
la m´ ethode d’Adams-Moulton est d’utilisation d´ elicate ` a cause de son caract` ere
implicite. Les m´ ethodes de pr´ ediction-correction que nous allons d´ ecrire permettent
d’obtenir une stabilit´ e ´ equivalente, tout en fournissant un sch´ ema explicite de
r´ esolution.