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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Quand le pas h n est suffisamment petit, on a donc
|e n | =
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt
(1 + O(h n ))
comme dans la m´ ethode d’Adams-Bashforth. Par ailleurs la formule de la moyenne
donne
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt = h n (z
(θ) − p
∗
n,r (θ)), θ ∈ ]t n , t n+1 [,
z
(θ) − p
∗
n,r (θ) =
1
(r + 2)!
z
(r+3) (ξ)π
∗
n,r (ξ), ξ ∈ ]t n,r , t n+1 [.
o` u π
∗
n,r (t) =
−1≤i≤r
(t − t n−i ). Il r´ esulte du § 2.2 que
|π
∗
n,r (ξ)| = |ξ − t n+1 | |π n,r (ξ)|
≤ (r + 1)h max · (r + 1)! h
r+1
max ≤ (r + 2)! h
r+2
max ,
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt
≤ |z
(r+3) (ξ)|h n h
r+2
max ,
par cons´ equent l’erreur de consistance admet la majoration
|e n | ≤ Ch n h
r+2
max (1 + O(h n )),
avec C = max
t∈[t0,t0+T ]
|z
(r+3)
|.
La m´ ethode AM r+1 est donc d’ordre r + 2. On initialisera les r premi` eres valeurs
y 1 , . . . , y r ` a l’aide d’une m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre r + 2 (ou `
a la rigueur
r + 1).
¿º¿º
∗
ËØÐÐØ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ AM r+1
On suppose que les rapports h n /h n−1 restent born´ es, de sorte que les quantit´ es
β
∗
r = max
n
≤i≤r
|b
∗
n,i,r |,
γ
∗
r = max
n
|b
∗
n,−1,r |
sont contrˆ ol´ ees. Supposons ´ egalement que f (t, y) soit k-lipschitzienne en y. La
m´ ethode de r´ esolution it´ erative pour y n+1 fonctionne d` es que h n <
1
|b ∗
n,−1,r
|k , en
particulier d` es que
h max <
1
γ ∗
r k
,
ce que nous supposons d´ esormais. Soit
y n une suite perturb´ ee telle que
y n+1 =
y n + h n
b
∗
n,−1,r
f n+1 +
0≤i≤r
b
∗
n,i,r
f n−i
+ ε n
f n−i = f (t n−i , y n−i ),
r≤ n < N,
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Quand le pas h n est suffisamment petit, on a donc
|e n | =
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt
(1 + O(h n ))
comme dans la m´ ethode d’Adams-Bashforth. Par ailleurs la formule de la moyenne
donne
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt = h n (z
(θ) − p
∗
n,r (θ)), θ ∈ ]t n , t n+1 [,
z
(θ) − p
∗
n,r (θ) =
1
(r + 2)!
z
(r+3) (ξ)π
∗
n,r (ξ), ξ ∈ ]t n,r , t n+1 [.
o` u π
∗
n,r (t) =
−1≤i≤r
(t − t n−i ). Il r´ esulte du § 2.2 que
|π
∗
n,r (ξ)| = |ξ − t n+1 | |π n,r (ξ)|
≤ (r + 1)h max · (r + 1)! h
r+1
max ≤ (r + 2)! h
r+2
max ,
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt
≤ |z
(r+3) (ξ)|h n h
r+2
max ,
par cons´ equent l’erreur de consistance admet la majoration
|e n | ≤ Ch n h
r+2
max (1 + O(h n )),
avec C = max
t∈[t0,t0+T ]
|z
(r+3)
|.
La m´ ethode AM r+1 est donc d’ordre r + 2. On initialisera les r premi` eres valeurs
y 1 , . . . , y r ` a l’aide d’une m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre r + 2 (ou `
a la rigueur
r + 1).
¿º¿º
∗
ËØÐÐØ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ AM r+1
On suppose que les rapports h n /h n−1 restent born´ es, de sorte que les quantit´ es
β
∗
r = max
n
≤i≤r
|b
∗
n,i,r |,
γ
∗
r = max
n
|b
∗
n,−1,r |
sont contrˆ ol´ ees. Supposons ´ egalement que f (t, y) soit k-lipschitzienne en y. La
m´ ethode de r´ esolution it´ erative pour y n+1 fonctionne d` es que h n <
1
|b ∗
n,−1,r
|k , en
particulier d` es que
h max <
1
γ ∗
r k
,
ce que nous supposons d´ esormais. Soit
y n une suite perturb´ ee telle que
y n+1 =
y n + h n
b
∗
n,−1,r
f n+1 +
0≤i≤r
b
∗
n,i,r
f n−i
+ ε n
f n−i = f (t n−i , y n−i ),
r≤ n < N,