IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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Dans le cas o` u le pas h n = h est constant, cette formule se r´ eduit `
a
y n+1 = y n + h
5
12
f n+1 +
8
12
f n −
1
12
f n−1
.
• De mani` ere g´ en´ erale, les coefficients b
∗
n,i,r sont des nombres b
∗
i,r ind´ ependants de
n lorsque le pas est constant. On a la table suivante :
r
b
∗
−1,r
b
∗
0,r
b
∗
1,r
b
∗
2,r
b
∗
3,r
β
∗
r =
i
|b
∗
i,r |
β r+1
0
1
2
1
2
1
2
1
5
12
8
12
−
1
12
1,16. . .
3,66. . .
2
9
24
19
24
−
5
24
1
24
1,41. . .
6,66. . .
3
251
720
646
720
−
264
720
106
720
−
19
720
1,78. . .
12,64. . .
Les coefficients b
∗
n,i,r v´ erifient toujours
−1≤i≤r
b
∗
n,i,r = 1.
¿º¾º ÖÖÖÙÖ ÓÒ×××ØÒÒÒ Ø ÓÖÖÖÖ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ AM r+1
Soit z une solution exacte du probl` eme de Cauchy. Sous l’hypoth` ese y n−i = z(t n−i ),
0 ≤ i ≤ n, on a
e n = z(t n+1 ) − y n+1
= z(t n+1 ) −
z(t n ) + h n
0≤i≤r
b
∗
n,i,r f (t n−i , z(t n−i )) + h n b
∗
n,−1,r f (t n+1 , y n+1 )
= z(t n+1 ) −
z(t n ) + h n
−1≤i≤r
b
∗
n,i,r f (t n−i , z(t n−i ))
+ h n b
∗
n,−1,r [f (t n+1 , z(t n+1 )) − f (t n+1 , y n+1 )],
e n =
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt + h n b
∗
n,−1,r
f (t n+1 , z(t n+1 )) − f (t n+1 , y n+1 )
.
Supposons que f (t, y) soit lipschitzienne de rapport k en y. Alors il vient
|e n | ≤
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt
+ h n b
∗
n,−1,r k|e n |,
|e n | ≤
1
1 − h n b ∗
n,−1,r k
tn+1
tn
(z
(t) − p
∗
n,r (t))dt
.