IX – M´ ethodes `
a pas multiples
279
Pour cela, on utilise comme pr´ edicteur (P) la m´ ethode d’Adams-Bashforth `
a
3 pas, de pas constant
h
2 , faisant intervenir les pentes pr´ edites ant´ erieures pf n ,
pf n−
1
2
, pf n−1 . La m´ ethode (P) est utilis´ ee une premi` ere fois pour ´ evaluer py n+
1
2
,
puis une deuxi` eme fois pour ´ evaluer py n+1 ` a patir de py n+
1
2
.
(α) Expliciter compl` etement l’algorithme PEPEC ainsi obtenu.
(β) ´
Ecrire en langage informatique la boucle centrale correspondant `
a l’it´ eration
de l’algorithme PEPEC (on pr´ ecisera la signification des variables utilis´ ees).
(γ) L’erreur de consistance de la m´ ethode PEPEC est d´ efinie par e n = z(t n+1 )−
y n+1 o` u l’on suppose que les points y n et py n−i , i ∈
0,
1
2 , 1
sont exacts.
Si pe n et pe n+
1
2
d´ esignent les erreurs de consistance du pr´ edicteur sur les
intervalles de temps
t n , t n +
h
2
et
t n +
h
2 , t n+1
, montrer que
|e n | ≤ |e
∗
n | +
4
6
kh|pe n | +
1
6
kh
|pe n+
1
2
| + |pe n | +
23
24
kh|pe n |
.
Le choix du pr´ edicteur est-il justifi´ e ? Quel est l’ordre de la m´ ethode
PEPEC ? Comment proc´ ederiez-vous pour l’initialisation de l’algorithme ?
(c) On se propose ici de d´ eterminer une constante de stabilit´ e de l’algorithme
PEPEC. Soit
y n une suite perturb´ ee telle que la formule de correction soit
entach´ ee d’une erreur ε n , toute l’erreur ´ etant comptabilis´ ee au niveau de (C) :
y n+1 =
y n + h(α p
f n + β p
f n+
1
2
+ γ p
f n+1 ) + ε n .
Pour i, n ∈ N on pose
θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |,
pθ n = max
0≤i≤n
|p y i − py i |, pθ n+
1
2
= max
0≤i≤n
|p y i+
1
2
− py i+
1
2
|.
(α) Majorer pθ n+
1
2
en fonction de θ n , pθ n et pθ n−
1
2
puis pθ n+1 en fonction de
pθ n+
1
2
et pθ n . En d´ eduire successivement (pour h assez petit) :
pθ n+1 ≤
1 +
7
6 kh
1 −
4
6 kh
pθ n+
1
2
≤
1
1 −
11
6 kh
pθ n+
1
2
,
pθ n+
1
2
≤ θ n + kh
11
6 pθ n−
1
2
1 −
11
6 kh
,
pθ n+
1
2
≤
1 −
11
6 kh
1 −
11
3 kh
θ n .
En d´ eduire une majoration de θ n+1 en fonction de θ n , |ε n | et une estimation
de S.
(β) Comparer la stabilit´ e de PEPEC `
a la stabilit´ e de la m´ ethode PECE de mˆ eme
ordre ayant pour pr´ edicteur Adams-Bashforth et pour correcteur AdamsMoulton.
a pas multiples
279
Pour cela, on utilise comme pr´ edicteur (P) la m´ ethode d’Adams-Bashforth `
a
3 pas, de pas constant
h
2 , faisant intervenir les pentes pr´ edites ant´ erieures pf n ,
pf n−
1
2
, pf n−1 . La m´ ethode (P) est utilis´ ee une premi` ere fois pour ´ evaluer py n+
1
2
,
puis une deuxi` eme fois pour ´ evaluer py n+1 ` a patir de py n+
1
2
.
(α) Expliciter compl` etement l’algorithme PEPEC ainsi obtenu.
(β) ´
Ecrire en langage informatique la boucle centrale correspondant `
a l’it´ eration
de l’algorithme PEPEC (on pr´ ecisera la signification des variables utilis´ ees).
(γ) L’erreur de consistance de la m´ ethode PEPEC est d´ efinie par e n = z(t n+1 )−
y n+1 o` u l’on suppose que les points y n et py n−i , i ∈
0,
1
2 , 1
sont exacts.
Si pe n et pe n+
1
2
d´ esignent les erreurs de consistance du pr´ edicteur sur les
intervalles de temps
t n , t n +
h
2
et
t n +
h
2 , t n+1
, montrer que
|e n | ≤ |e
∗
n | +
4
6
kh|pe n | +
1
6
kh
|pe n+
1
2
| + |pe n | +
23
24
kh|pe n |
.
Le choix du pr´ edicteur est-il justifi´ e ? Quel est l’ordre de la m´ ethode
PEPEC ? Comment proc´ ederiez-vous pour l’initialisation de l’algorithme ?
(c) On se propose ici de d´ eterminer une constante de stabilit´ e de l’algorithme
PEPEC. Soit
y n une suite perturb´ ee telle que la formule de correction soit
entach´ ee d’une erreur ε n , toute l’erreur ´ etant comptabilis´ ee au niveau de (C) :
y n+1 =
y n + h(α p
f n + β p
f n+
1
2
+ γ p
f n+1 ) + ε n .
Pour i, n ∈ N on pose
θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |,
pθ n = max
0≤i≤n
|p y i − py i |, pθ n+
1
2
= max
0≤i≤n
|p y i+
1
2
− py i+
1
2
|.
(α) Majorer pθ n+
1
2
en fonction de θ n , pθ n et pθ n−
1
2
puis pθ n+1 en fonction de
pθ n+
1
2
et pθ n . En d´ eduire successivement (pour h assez petit) :
pθ n+1 ≤
1 +
7
6 kh
1 −
4
6 kh
pθ n+
1
2
≤
1
1 −
11
6 kh
pθ n+
1
2
,
pθ n+
1
2
≤ θ n + kh
11
6 pθ n−
1
2
1 −
11
6 kh
,
pθ n+
1
2
≤
1 −
11
6 kh
1 −
11
3 kh
θ n .
En d´ eduire une majoration de θ n+1 en fonction de θ n , |ε n | et une estimation
de S.
(β) Comparer la stabilit´ e de PEPEC `
a la stabilit´ e de la m´ ethode PECE de mˆ eme
ordre ayant pour pr´ edicteur Adams-Bashforth et pour correcteur AdamsMoulton.