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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
A l’issue de la n-i` eme ´ etape, la case m´ emoire TAB[k] contient le coefficient
f [x 0 , . . . , x k ] cherch´ e, et on peut alors utiliser la formule (∗∗). Il est commode
d’appliquer ici la r` egle de H¨ orner :
p n (x) = TAB [0]+(x − x 0 )(TAB [1] + (x − x 1 )(TAB [2] + . . . + (x − x n−1 )TAB [n])))
On effectue donc une r´ ecurrence descendante
u n = TAB [n]
u k = TAB [k] + (x − x k )u k+1 , 0 ≤ k < n,
qui aboutit `
a u 0 = p n (x).
Remarque – D’apr` es l’´ egalit´ e pr´ ec´ edant (∗∗) on a
p k (x k ) − p k−1 (x k ) = f [x 0 , x 1 , . . . , x k ](x k − x 0 ) . . . (x k − x k−1 ).
Or la formule d’erreur 1.2 donne
p k (x k ) − p k−1 (x k ) = f (x k ) − p k−1 (x k ) =
1
k!
π k (x k )f
(k) (ξ)
avec π k (x) = (x − x 0 ) . . . (x − x k−1 ) et ξ ∈ ] min(x 0 , . . . , x k ), max (x 0 , . . . , x k )[.
En comparant les deux ´ egalit´ es il vient
f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] =
1
k!
f
(k) (ξ), ξ ∈ ] min(x i ), max(x i )[.
Si l’on suppose que f, f
, . . . , f
(n) existent et sont continues, on voit que les
diff´ erences divis´ ees f [x 0 , . . . , x k ] sont born´ ees ind´ ependamment du choix des x i ,
mˆ eme si certains de ces points sont tr` es voisins.
½ººº × Ó Ù ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ ×ÓÒØ
ÕÙÙÙÙ×ØÒØ×
On consid` ere la subdivision de l’intervalle [a, b] de pas constant h =
b−a
n . Les points
d’interpolation sont donc
x i = a + ih = a + i
b − a
n
, 0 ≤ i ≤ n.
On note f i = f (x i ) les valeurs de f correspondantes, et on introduit un op´ erateur
not´ e ∆, appel´ ee op´ erateur aux diff´ erences finies, d´ efini par
∆ : (f 0 , f 1 , . . . , f n ) → (∆f 0 , ∆f 1 , . . . , ∆f n−1 )
avec
∆f i = f i+1 − f i , 0 ≤ i ≤ n − 1.
Lorsqu’on it` ere l’op´ eration ∆, on obtient des r´ eels ∆
k f i , 0 ≤ i ≤ n − k, d´ efinis par
la formule de r´ ecurrence
∆
k f i = ∆
k−1 f i+1 − ∆
k−1 f i , k ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n − k,
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
A l’issue de la n-i` eme ´ etape, la case m´ emoire TAB[k] contient le coefficient
f [x 0 , . . . , x k ] cherch´ e, et on peut alors utiliser la formule (∗∗). Il est commode
d’appliquer ici la r` egle de H¨ orner :
p n (x) = TAB [0]+(x − x 0 )(TAB [1] + (x − x 1 )(TAB [2] + . . . + (x − x n−1 )TAB [n])))
On effectue donc une r´ ecurrence descendante
u n = TAB [n]
u k = TAB [k] + (x − x k )u k+1 , 0 ≤ k < n,
qui aboutit `
a u 0 = p n (x).
Remarque – D’apr` es l’´ egalit´ e pr´ ec´ edant (∗∗) on a
p k (x k ) − p k−1 (x k ) = f [x 0 , x 1 , . . . , x k ](x k − x 0 ) . . . (x k − x k−1 ).
Or la formule d’erreur 1.2 donne
p k (x k ) − p k−1 (x k ) = f (x k ) − p k−1 (x k ) =
1
k!
π k (x k )f
(k) (ξ)
avec π k (x) = (x − x 0 ) . . . (x − x k−1 ) et ξ ∈ ] min(x 0 , . . . , x k ), max (x 0 , . . . , x k )[.
En comparant les deux ´ egalit´ es il vient
f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] =
1
k!
f
(k) (ξ), ξ ∈ ] min(x i ), max(x i )[.
Si l’on suppose que f, f
, . . . , f
(n) existent et sont continues, on voit que les
diff´ erences divis´ ees f [x 0 , . . . , x k ] sont born´ ees ind´ ependamment du choix des x i ,
mˆ eme si certains de ces points sont tr` es voisins.
½ººº × Ó Ù ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ ×ÓÒØ
ÕÙÙÙÙ×ØÒØ×
On consid` ere la subdivision de l’intervalle [a, b] de pas constant h =
b−a
n . Les points
d’interpolation sont donc
x i = a + ih = a + i
b − a
n
, 0 ≤ i ≤ n.
On note f i = f (x i ) les valeurs de f correspondantes, et on introduit un op´ erateur
not´ e ∆, appel´ ee op´ erateur aux diff´ erences finies, d´ efini par
∆ : (f 0 , f 1 , . . . , f n ) → (∆f 0 , ∆f 1 , . . . , ∆f n−1 )
avec
∆f i = f i+1 − f i , 0 ≤ i ≤ n − 1.
Lorsqu’on it` ere l’op´ eration ∆, on obtient des r´ eels ∆
k f i , 0 ≤ i ≤ n − k, d´ efinis par
la formule de r´ ecurrence
∆
k f i = ∆
k−1 f i+1 − ∆
k−1 f i , k ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n − k,