II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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o` u l’on convient que ∆
0 f i = f i , 0 ≤ i ≤ n.
Exercice – V´ erifier que ∆
k f i =
k
j=0 (−1)
j C
j
k f i+j ,
Il est alors facile de montrer par r´ ecurrence que les diff´ erences divis´ ees sont donn´ ees
par
f [x i , x i+1 , . . . , x i+k ] =
∆
k f i
k!h k .
R´ ecrivons avec ces notations la formule fondamentale (∗∗). Pour x ∈ [a, b],
effectuons le changement de variable
x = a + sh, s ∈ [0, n].
On a alors
(x − x 0 ) . . . (x − x k−1 ) = sh(sh − h) . . . (sh − (k − 1)h)
= h
k s(s − 1) . . . (s − k + 1).
On obtient la formule de Newton suivante, dans laquelle s = (x − a)/h :
p n (x) =
n
k=0
∆
k f 0 ·
s(s − 1) . . . (s − k + 1)
k!
= f 0 +
s
1
∆
1 f 0 +
s − 1
2
∆
2 f 0 + . . . +
s − n + 1
n
∆
n f 0
. . . .
Les coefficients ∆
k f 0 se calculent suivant le sch´ ema d´ ecrit au § 1.3 :
f n  
∆f n−1  
∆
2 f n−2 . . . ∆
n−1 f 1  
∆
n f 0
f n−1  
∆f n−2
∆
n−1 f 0
f n−2
. . .
f 2  
∆f 1  
∆
2 f 0
f 1  
∆f 0
f 0
A l’issue de la n-i` eme ´ etape, le tableau contient les coefficients ∆
k f 0 cherch´ es.
Estimation de l’erreur d’interpolation – On a
π n+1 (x) = (x − x 0 ) . . . (x − x n ) = h
n+1 s(s − 1) . . . (s − n),
d’o` u
f (x) − p n (x) =
s(s − 1) . . . (s − n)
(n + 1)!
h
n+1 f
(n+1) (ξ x ).