II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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p n (x) = f (x 0 ) +
n
k=1
f [x 0 , x 1 , . . . , x k ](x − x 0 ) . . . (x − x k−1 ).
(∗∗)
Pour pouvoir exploiter cette formule, il reste bien entendu `
a ´ evaluer les coefficients
f [x 0 , x 1 , . . . , x k ]. On utilise `
a cette fin une r´ ecurrence sur le nombre k de points x i ,
en observant que f [x 0 ] = f (x 0 ).
Formule de r´ ecurrence – Pour k ≥ 1, on a
f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] =
f [x 1 , . . . , x k ] − f [x 0 , . . . , x k−1 ]
x k − x 0
.
(∗∗∗)
A cause de cette formule, la quantit´ e f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] est appel´ ee diff´ erence divis´ ee
d’ordre k de f aux points x 0 , . . . , x k .
V´ erification de (∗∗∗). D´ esignons par q k−1 ∈ P k−1 le polynˆ ome de f aux points
x 1 , x 2 , . . . , x k . Posons
p k (x) =
(x − x 0 )q k−1 (x) − (x − x k )p k−1 (x)
x k − x 0
.
Alors
p k ∈ P k ,
p k (x 0 ) = p k−1 (x 0 ) = f (x 0 ),
p k (x k ) = q k−1 (x k ) = f (x k ) et pour
0 < i < k on a
p k (x i ) =
(x i − x 0 )f (x i ) − (x i − x k )f (x i )
x k − x 0
= f (x i ).
Par cons´ equent
p k = p k . Comme le coefficient directeur de q k−1 est f [x 1 , . . . , x k ],
on obtient la formule (∗∗∗) cherch´ ee en ´ egalant les coefficients de x
k dans l’identit´ e
p k (x) =
(x − x 0 )q k−1 (x) − (x − x k )p k−1 (x)
x k − x 0
.
Algorithme pratique – On range les valeurs f (x i ) dans un tableau TAB, puis
on modifie ce tableau en n ´ etapes successives, en proc´ edant par indices d´ ecroissants :
Tableau
Etape 0
Etape 1
Etape 2
. . .
Etape n
TAB [n]
f (x n )  
f [x n−1 , x n ]  
f [x n−2 , x n−1 , x n ] . . .  
f [x 0 , . . . , x n ]
TAB [n − 1] f (x n−1 )  
f [x n−2 , x n−1 ]
TAB [n − 2] f (x n−2 )
. . .
. . .
. . .
. . .
TAB [2]
f (x 2 )  
f [x 1 , x 2 ]
 
f [x 0 , x 1 , x 2 ]
TAB [1]
f (x 1 )  
f [x 0 , x 1 ]
TAB [0]
f (x 0 )