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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration du th´ eor` eme
• Si x = x i , on a π n+1 (x i ) = 0, tout point ξ x convient.
• Supposons maintenant x distinct des points x i .
Soit p n+1 (t) le polynˆ ome d’interpolation de f (t) aux points x, x 0 , . . . , x n+1 , de sorte
que p n+1 ∈ P n+1 . Par construction f (x)−p n (x) = p n+1 (x)−p n (x). Or le polynˆ ome
p n+1 − p n est de degr´ e ≤ n + 1 et s’annule aux n + 1 points x 0 , x 1 , . . . , x n . On a
donc
p n+1 (t) − p n (t) = c · π n+1 (t), c ∈ R.
Consid´ erons la fonction
g(t) = f (t) − p n+1 (t) = f (t) − p n (t) − cπ n+1 (t).
Cette fonction s’annule en les n + 2 points x, x 0 , x 1 , . . . , x n donc d’apr` es le lemme
il existe ξ x ∈ ] min (x, x i ), max (x, x i )[ tel que g
(n+1) (ξ x ) = 0. Or
p
(n+1)
n
= 0, π
(n+1)
n+1 = (n + 1)!
On a par cons´ equent g
(n+1) (ξ x ) = f
(n+1) (ξ x ) − c · (n + 1)! = 0, d’o` u
f (x) − p n (x) = p n+1 (x) − p n (x) = cπ n+1 (x) =
f
(n+1) (ξ x )
(n + 1)!
π n+1 (x).
En prenant la borne sup´ erieure de la valeur absolue des deux membres dans la
formule d’erreur, on obtient en particulier :
Corollaire – f − p n ≤
1
(n + 1)!
π n+1 f
(n+1)
.
Ces formules montrent que la taille de l’erreur d’interpolation f (x) − p n (x) d´ epend
` a la fois de la quantit´ e f
(n+1)
, qui peut ˆ etre grande si f oscille trop vite, et de la
quantit´ e π n+1 , qui est li´ ee ` a la r´ epartition des points x i dans l’intervalle [a, b].
½º¿º Å ØØÓÓÓ × ÖÖÒÒÒ× ÚÚ× ×
On va d´ ecrire ici une m´ ethode simple et efficace permettant de calculer les
polynˆ omes d’interpolation de f . Soit p k le polynˆ ome d’interpolation de f aux
points x 0 , x 1 , . . . , x k .
Notation – On d´ esigne par f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] le coefficient directeur du polynˆ ome
p k ( = coefficient de t
k dans p k (t)).
Alors p k − p k−1 est un polynˆ ome de degr´ e ≤ k, s’annulant aux points x 0 , x 1 , . . . ,
x k−1 , et admettant f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] pour coefficient directeur. Par suite :
p k (x) − p k−1 (x) = f [x 0 , x 1 , . . . , x k ](x − x 0 ) . . . (x − x k−1 ).
Comme p 0 (x) = f (x 0 ), on en d´ eduit la formule fondamentale
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration du th´ eor` eme
• Si x = x i , on a π n+1 (x i ) = 0, tout point ξ x convient.
• Supposons maintenant x distinct des points x i .
Soit p n+1 (t) le polynˆ ome d’interpolation de f (t) aux points x, x 0 , . . . , x n+1 , de sorte
que p n+1 ∈ P n+1 . Par construction f (x)−p n (x) = p n+1 (x)−p n (x). Or le polynˆ ome
p n+1 − p n est de degr´ e ≤ n + 1 et s’annule aux n + 1 points x 0 , x 1 , . . . , x n . On a
donc
p n+1 (t) − p n (t) = c · π n+1 (t), c ∈ R.
Consid´ erons la fonction
g(t) = f (t) − p n+1 (t) = f (t) − p n (t) − cπ n+1 (t).
Cette fonction s’annule en les n + 2 points x, x 0 , x 1 , . . . , x n donc d’apr` es le lemme
il existe ξ x ∈ ] min (x, x i ), max (x, x i )[ tel que g
(n+1) (ξ x ) = 0. Or
p
(n+1)
n
= 0, π
(n+1)
n+1 = (n + 1)!
On a par cons´ equent g
(n+1) (ξ x ) = f
(n+1) (ξ x ) − c · (n + 1)! = 0, d’o` u
f (x) − p n (x) = p n+1 (x) − p n (x) = cπ n+1 (x) =
f
(n+1) (ξ x )
(n + 1)!
π n+1 (x).
En prenant la borne sup´ erieure de la valeur absolue des deux membres dans la
formule d’erreur, on obtient en particulier :
Corollaire – f − p n ≤
1
(n + 1)!
π n+1 f
(n+1)
.
Ces formules montrent que la taille de l’erreur d’interpolation f (x) − p n (x) d´ epend
` a la fois de la quantit´ e f
(n+1)
, qui peut ˆ etre grande si f oscille trop vite, et de la
quantit´ e π n+1 , qui est li´ ee ` a la r´ epartition des points x i dans l’intervalle [a, b].
½º¿º Å ØØÓÓÓ × ÖÖÒÒÒ× ÚÚ× ×
On va d´ ecrire ici une m´ ethode simple et efficace permettant de calculer les
polynˆ omes d’interpolation de f . Soit p k le polynˆ ome d’interpolation de f aux
points x 0 , x 1 , . . . , x k .
Notation – On d´ esigne par f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] le coefficient directeur du polynˆ ome
p k ( = coefficient de t
k dans p k (t)).
Alors p k − p k−1 est un polynˆ ome de degr´ e ≤ k, s’annulant aux points x 0 , x 1 , . . . ,
x k−1 , et admettant f [x 0 , x 1 , . . . , x k ] pour coefficient directeur. Par suite :
p k (x) − p k−1 (x) = f [x 0 , x 1 , . . . , x k ](x − x 0 ) . . . (x − x k−1 ).
Comme p 0 (x) = f (x 0 ), on en d´ eduit la formule fondamentale