II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques
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Il s’agit de montrer que ∆ = 0 si les x i sont distincts. Or ∆ est un polynˆ ome de
degr´ e total 1 + 2 + . . . + n =
n(n+1)
2
en les variables x 0 , x 1 , . . . , x n . Il est clair que
∆ = 0 chaque fois que x i = x j pour un couple (i, j) tel que 0 ≤ j < i ≤ n.
∆ est donc divisible par le polynˆ ome
0≤j
n(n+1)
2
. Le quotient est donc une constante, donn´ ee par exemple par le
coefficient de x 1 x
2
2 . . . x
n
n dans ∆, qui vaut 1. Par suite
∆ =
0≤j
Il n’est pas recommand´ e de r´ esoudre num´ eriquement le syst` eme pr´ ec´ edent pour
obtenir p n . Nous verrons plus loin une m´ ethode beaucoup plus efficace (cf. § 1.3).
Exercice – On se propose de donner deux autres d´ emonstrations des r´ esultats
ci-dessus, grˆ ace ` a des arguments d’alg` ebre lin´ eaire.
(a) Montrer que l’application φ n : P n → R
n+1 , p → (p(x i )) 0≤i≤n est lin´ eaire. En
d´ eduire que φ n est injective si et seulement si elle est surjective. Traduire ces
r´ esultats en terme d’existence et d’unicit´ e du polynˆ ome d’interpolation.
(b) Montrer par r´ ecurrence sur n que φ n est surjective [Indication : si le r´ esultat
est vrai pour n − 1, ajuster la valeur p(x n ) ` a l’aide du polynˆ ome de degr´ e n
(x − x 0 ) . . . (x − x n−1 )]. Conclure.
(c) Montrer directement que les polynˆ omes (l i ) 0≤i≤n forment une famille libre.
En d´ eduire que c’est une base de P n et que φ n est un isomorphisme.
½º¾º ÓÖÑÙÐÐ ³³ÖÖÖÙÖ
L’erreur d’interpolation est donn´ ee par la formule th´ eorique suivante.
Th´ eor` eme – On suppose que f est n + 1 fois d´ erivable sur [a, b]. Alors pour tout
x ∈ [a, b], il existe un point ξ x ∈ ] min (x, x i ), max (x, x i )[ tel que
f (x) − p n (x) =
1
(n + 1)!
π n+1 (x)f
(n+1) (ξ x ).
On a besoin du lemme suivant, qui d´ ecoule du th´ eor` eme de Rolle.
Lemme – Soit g une fonction p fois d´ erivable sur [a, b]. On suppose qu’il existe
p + 1 points c 0 < c 1 < . . . < c p de [a, b] tels que g(c i ) = 0. Alors il existe ξ ∈ ]c 0 , c p [
tel que g
(p) (ξ) = 0.
Le lemme se d´ emontre par r´ ecurrence sur p. Pour p = 1, c’est le th´ eor` eme de Rolle.
Supposons le lemme d´ emontr´ e pour p − 1. Le th´ eor` eme de Rolle donne des points
γ 0 ∈ ]c 0 , c 1 [, . . . , γ p−1 ∈ ]c p−1 , c p [ tels que g
(γ i ) = 0. Par hypoth` ese de r´ ecurrence,
il existe donc ξ ∈ ]γ 0 , γ p−1 [ ⊂ ]c 0 , c p [ tel que (g
)
(p−1) (ξ) = g
(p) (ξ) = 0.
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Il s’agit de montrer que ∆ = 0 si les x i sont distincts. Or ∆ est un polynˆ ome de
degr´ e total 1 + 2 + . . . + n =
n(n+1)
2
en les variables x 0 , x 1 , . . . , x n . Il est clair que
∆ = 0 chaque fois que x i = x j pour un couple (i, j) tel que 0 ≤ j < i ≤ n.
∆ est donc divisible par le polynˆ ome
0≤j
n(n+1)
2
. Le quotient est donc une constante, donn´ ee par exemple par le
coefficient de x 1 x
2
2 . . . x
n
n dans ∆, qui vaut 1. Par suite
∆ =
0≤j
Il n’est pas recommand´ e de r´ esoudre num´ eriquement le syst` eme pr´ ec´ edent pour
obtenir p n . Nous verrons plus loin une m´ ethode beaucoup plus efficace (cf. § 1.3).
Exercice – On se propose de donner deux autres d´ emonstrations des r´ esultats
ci-dessus, grˆ ace ` a des arguments d’alg` ebre lin´ eaire.
(a) Montrer que l’application φ n : P n → R
n+1 , p → (p(x i )) 0≤i≤n est lin´ eaire. En
d´ eduire que φ n est injective si et seulement si elle est surjective. Traduire ces
r´ esultats en terme d’existence et d’unicit´ e du polynˆ ome d’interpolation.
(b) Montrer par r´ ecurrence sur n que φ n est surjective [Indication : si le r´ esultat
est vrai pour n − 1, ajuster la valeur p(x n ) ` a l’aide du polynˆ ome de degr´ e n
(x − x 0 ) . . . (x − x n−1 )]. Conclure.
(c) Montrer directement que les polynˆ omes (l i ) 0≤i≤n forment une famille libre.
En d´ eduire que c’est une base de P n et que φ n est un isomorphisme.
½º¾º ÓÖÑÙÐÐ ³³ÖÖÖÙÖ
L’erreur d’interpolation est donn´ ee par la formule th´ eorique suivante.
Th´ eor` eme – On suppose que f est n + 1 fois d´ erivable sur [a, b]. Alors pour tout
x ∈ [a, b], il existe un point ξ x ∈ ] min (x, x i ), max (x, x i )[ tel que
f (x) − p n (x) =
1
(n + 1)!
π n+1 (x)f
(n+1) (ξ x ).
On a besoin du lemme suivant, qui d´ ecoule du th´ eor` eme de Rolle.
Lemme – Soit g une fonction p fois d´ erivable sur [a, b]. On suppose qu’il existe
p + 1 points c 0 < c 1 < . . . < c p de [a, b] tels que g(c i ) = 0. Alors il existe ξ ∈ ]c 0 , c p [
tel que g
(p) (ξ) = 0.
Le lemme se d´ emontre par r´ ecurrence sur p. Pour p = 1, c’est le th´ eor` eme de Rolle.
Supposons le lemme d´ emontr´ e pour p − 1. Le th´ eor` eme de Rolle donne des points
γ 0 ∈ ]c 0 , c 1 [, . . . , γ p−1 ∈ ]c p−1 , c p [ tels que g
(γ i ) = 0. Par hypoth` ese de r´ ecurrence,
il existe donc ξ ∈ ]γ 0 , γ p−1 [ ⊂ ]c 0 , c p [ tel que (g
)
(p−1) (ξ) = g
(p) (ξ) = 0.