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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Posons θ n = max
0≤i≤n
| y i − y i |. On a
|
f n−i − f n−i | ≤ k| y n−i − y n−i | ≤ kθ n ,
| y n+1 − y n+1 | ≤ θ n + h n
0≤i≤r
|b n,i,r | · kθ n + |ε n |
≤ (1 + β r kh n )θ n + |ε n |.
Comme θ n+1 = max (| y n+1 − y n+1 |, θ n ), on en d´ eduit
θ n+1 ≤ (1 + β r kh n )θ n + |ε n |.
Le lemme de Gronwall implique alors
θ N ≤ exp
β r k(t N − t r )
θ r +
r≤n |ε n |
,
ce qui entraˆ ıne bien la stabilit´ e, avec constante S = exp (β r kT ). D’apr` es le tableau
donn´ e au § 2.1, on voit que la constante β r croˆ ıt assez vite quand r augmente. La
stabilit´ e devient donc de moins en moins bonne quand le nombre de pas augmente.
Cette stabilit´ e m´ ediocre est un des inconv´ enients les plus s´ erieux des m´ ethodes
d’Adams-Bashforth lorsque r est grand. En pratique, on se limitera le plus souvent
aux cas r = 1 ou r = 2.
Remarque – L’exemple AB 2 donn´ e au § 2.1 montre que les coefficients b n,i,r ne
sont en g´ en´ eral born´ es que si le rapport h n /h n−1 de 2 pas cons´ ecutifs reste born´ e.
Dans la pratique, il est raisonnable de supposer que
h n
h n−1
≤ δ
avec disons δ ≤ 2. Les formules du § 2.1 donnent dans ce cas :
|b n,i,r | ≤ max
t∈[tn,tn+1]
|L n,i,r (t)| =
1≤j≤n
t n+1 − t n−j
|t n−i − t n−j |
Comme t n+1 − t n−j = h n−j + . . . + h n ≤ (1 + δ + . . . + δ
j )h n−j et
h n−j ≤
|t n−i − t n−j |
si j > i
δ|t n−i − t n−j |
si j < i
Il vient
|b n,i,r | ≤ δ
i
j =i
(1 + δ + . . . + δ
j ) ≤
0≤j≤r
(1 + δ + . . . + δ
j ).
On a donc l’estimation assez grossi` ere
β r = max
n
0≤i≤r
|b n,i,r | ≤ (r + 1)
0≤j≤r
(1 + δ + . . . + δ
j ).