IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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¿º Å ØØÓÓÓ× ³³³Ñ×¹ÅÓÙÐØÓÒ
¿º½º ××ÖÖÔØØÓÒ
L’id´ ee en est la mˆ eme que celle des m´ ethodes d’Adams-Bashforth, mais on approxime ici f (t, z(t)) par son polynˆ ome d’interpolation aux points t n+1 , t n , . . . , t n−r ; le
point t n+1 est donc pris en plus. On consid` ere le polynˆ ome p
∗
n,r (t) de degr´ e r + 1
qui interpole les points (t n−i , f n−i ) pour −1 ≤ i ≤ r :
p
∗
n,r (t) =
−1≤i≤r
f n−i L
∗
n,i,r (t),
L
∗
n,i,r (t) =
−1≤j≤r
j =i
t − t n,j
t − t n,i
.
d’o` u
On obtient donc comme au §2.2
z(t n+1 ) z(t n ) + h n
−1≤i≤r
b
∗
n,i,r f n−i
avec
b
∗
n,i,r =
1
h n
tn+1
tn
L
∗
n,i,r (t)dt.
L’algorithme correspondant AM r+1 s’´ ecrit
y n+1 − h n b
∗
n,−1,r f (t n+1 , y n+1 ) = y n + h n
0≤i≤r
b
∗
n,i,r f n−i .
On observera ici que y n+1 n’est pas donn´ e explicitement en fonction des quantit´ es y n ,
f n−i ant´ erieurement calcul´ ees, mais seulement comme solution d’une ´ equation dont
la r´ esolution n’est pas a priori imm´ ediate. Pour cette raison, on dit que la m´ ethode
d’Adams-Moulton est une m´ ethode implicite (la m´ ethode d’Adams-Bashforth est
dite par opposition explicite). Pour r´ esoudre l’´ equation ci-dessus, on aura recours
en g´ en´ eral ` a une m´ ethode it´ erative. Notons u n la quantit´ e (explicite)
u n = y n + h n
0≤i≤r
b
∗
n,i,r f n−i .
Le point y n+1 cherch´ e est la solution x de l’´ equation
x = u n + h n b
∗
n,−1,r f (t n+1 , x).
On va donc calculer la suite it´ er´ ee x p+1 = ϕ(x p ) o` u
ϕ(x) = u n + h n b
∗
n,−1,r f (t n+1 , x).