IX – M´ ethodes `
a pas multiples
263
La formule donnant l’erreur d’interpolation (voir chapitre II, § 1.2) implique
z
(θ) − p n,r (θ) =
1
(r + 1)!
z
(r+2) (ξ)π n,r (ξ),
o` u ξ ∈ ]t n−r , t n+1 [ est un point interm´ ediaire entre θ et les points t n−i , et o` u
π n,r (t) =
0≤i≤r
(t − t n−i ).
Si ξ ∈ ]t n−j , t n−j+1 [, 0 ≤ j ≤ r, on a l’in´ egalit´ e |ξ − t n−i | ≤ (1 + |j − i|)h max , d’o` u
|π n,r (ξ)| ≤ h
r+1
max (1 + j) . . . (1 + 1)1(1 + 1) . . . (1 + r − j)
= h
r+1
max (j + 1)!(r − j + 1)! ≤ h
r+1
max (r + 1)!,
en majorant 2 par j + 2, . . . , (r − j + 1) par (r + 1). On en d´ eduit par cons´ equent
|z
(θ) − p n,r (θ)| ≤ |z
(r+2) (ξ)| h
r+1
max ,
ce qui donne la majoration cherch´ ee de l’erreur de consistance :
|e n | ≤ |z
(r+2) (ξ)|h n h
r+1
max ≤ Ch n h
r+1
max
avec C = max
t∈[t0,t0+T ]
|z
(r+2) (t)|.
La m´ ethode d’Adams-Bashforth ` a r + 1 pas est donc d’ordre r + 1 (le lecteur pourra
v´ erifier `
a titre d’exercice que l’ordre n’est pas ≥ r + 2 en consid´ erant le cas de la
fonction f (t, y) = t
r+1 ).
Phase d’initialisation – De ce qui pr´ ec` ede, il r´ esulte qu’on choisira une
m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre r + 1 (ou r ` a la rigueur) pour initialiser les
premi` eres valeurs y 1 , . . . , y r , f 0 , f 1 , . . . , f r .
¾º¿º ËØÐÐØ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ AB r+1
Nous allons d´ emontrer le r´ esultat suivant.
Th´ eor` eme – On suppose que f (t, y) est k-lipschitzienne en y et que les sommes
0≤i≤r |b n,i,r | sont major´ ees ind´ ependamment de n par une constante β r .
Alors la m´ ethode d’Adams-Bashforth ` a r+1 pas est stable, avec constante de stabilit´ e
S = exp (β r kT ).
D´ emonstration. Soit
y n la suite r´ ecurrente perturb´ ee telle que
y n+1 =
y n + h n
0≤i≤r
b n,i,r
f n−i + ε n , r ≤ n < N,
f n−i = f (t n−i ,
y n−i ).
a pas multiples
263
La formule donnant l’erreur d’interpolation (voir chapitre II, § 1.2) implique
z
(θ) − p n,r (θ) =
1
(r + 1)!
z
(r+2) (ξ)π n,r (ξ),
o` u ξ ∈ ]t n−r , t n+1 [ est un point interm´ ediaire entre θ et les points t n−i , et o` u
π n,r (t) =
0≤i≤r
(t − t n−i ).
Si ξ ∈ ]t n−j , t n−j+1 [, 0 ≤ j ≤ r, on a l’in´ egalit´ e |ξ − t n−i | ≤ (1 + |j − i|)h max , d’o` u
|π n,r (ξ)| ≤ h
r+1
max (1 + j) . . . (1 + 1)1(1 + 1) . . . (1 + r − j)
= h
r+1
max (j + 1)!(r − j + 1)! ≤ h
r+1
max (r + 1)!,
en majorant 2 par j + 2, . . . , (r − j + 1) par (r + 1). On en d´ eduit par cons´ equent
|z
(θ) − p n,r (θ)| ≤ |z
(r+2) (ξ)| h
r+1
max ,
ce qui donne la majoration cherch´ ee de l’erreur de consistance :
|e n | ≤ |z
(r+2) (ξ)|h n h
r+1
max ≤ Ch n h
r+1
max
avec C = max
t∈[t0,t0+T ]
|z
(r+2) (t)|.
La m´ ethode d’Adams-Bashforth ` a r + 1 pas est donc d’ordre r + 1 (le lecteur pourra
v´ erifier `
a titre d’exercice que l’ordre n’est pas ≥ r + 2 en consid´ erant le cas de la
fonction f (t, y) = t
r+1 ).
Phase d’initialisation – De ce qui pr´ ec` ede, il r´ esulte qu’on choisira une
m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre r + 1 (ou r ` a la rigueur) pour initialiser les
premi` eres valeurs y 1 , . . . , y r , f 0 , f 1 , . . . , f r .
¾º¿º ËØÐÐØ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ AB r+1
Nous allons d´ emontrer le r´ esultat suivant.
Th´ eor` eme – On suppose que f (t, y) est k-lipschitzienne en y et que les sommes
0≤i≤r |b n,i,r | sont major´ ees ind´ ependamment de n par une constante β r .
Alors la m´ ethode d’Adams-Bashforth ` a r+1 pas est stable, avec constante de stabilit´ e
S = exp (β r kT ).
D´ emonstration. Soit
y n la suite r´ ecurrente perturb´ ee telle que
y n+1 =
y n + h n
0≤i≤r
b n,i,r
f n−i + ε n , r ≤ n < N,
f n−i = f (t n−i ,
y n−i ).