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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Dans le cas o` u le pas h n = h est constant, la formule de r´ ecurrence se r´ eduit `
a
y n+1 = y n + h
3
2
f n −
1
2
f n−1
.
• De mani` ere g´ en´ erale, lorsque le pas est constant les coefficients b n,i,r ne d´ ependent
pas de n car la m´ ethode est invariante par translation. Pour les petites valeurs de r,
les coefficients b i,r correspondants sont donn´ es par le tableau :
r
b 0,r
b 1,r
b 2,r
b 3,r
β r =
i
|b i,r |
0
1
1
1
3
2
−
1
2
2
2
23
12
−
16
12
5
12
3,66. . .
3
55
24
−
59
24
37
24
−
9
24
6,6. . .
Remarque – On a toujours
0≤i≤r b n,i,r = 1, car pour f n = . . . = f n−r = 1 on
a p n,r (t) ≡ 1, par cons´ equent
tn+1
tn
p n,r (t)dt = h n = h n
0≤i≤r
b n,i,r · 1.
Comme on le verra plus loin, la quantit´ e β r intervient dans le calcul de la constante
de stabilit´ e S.
¾º¾º ÖÖÖÙÖ ÓÒ×××ØÒÒÒ Ø ÓÖÖÖÖ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ AB r+1
Soit z une solution exacte du probl` eme de Cauchy. L’erreur de consistance est
donn´ ee par
e n = z(t n+1 ) − y n+1
= z(t n+1 ) −
z(t n ) +
tn+1
tn
p n,r (t)dt
,
e n =
tn+1
tn
z
(t) − p n,r (t)
dt,
o` u p n,r est pr´ ecis´ ement le polynˆ ome d’interpolation de la fonction z
(t) = f (t, z(t))
aux points t n−i , 0 ≤ i ≤ r. D’apr` es le th´ eor` eme de la moyenne, il existe un point
θ ∈ ]t n , t n+1 [ tel que
e n = h n
z
(θ) − p n,r (θ)
.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Dans le cas o` u le pas h n = h est constant, la formule de r´ ecurrence se r´ eduit `
a
y n+1 = y n + h
3
2
f n −
1
2
f n−1
.
• De mani` ere g´ en´ erale, lorsque le pas est constant les coefficients b n,i,r ne d´ ependent
pas de n car la m´ ethode est invariante par translation. Pour les petites valeurs de r,
les coefficients b i,r correspondants sont donn´ es par le tableau :
r
b 0,r
b 1,r
b 2,r
b 3,r
β r =
i
|b i,r |
0
1
1
1
3
2
−
1
2
2
2
23
12
−
16
12
5
12
3,66. . .
3
55
24
−
59
24
37
24
−
9
24
6,6. . .
Remarque – On a toujours
0≤i≤r b n,i,r = 1, car pour f n = . . . = f n−r = 1 on
a p n,r (t) ≡ 1, par cons´ equent
tn+1
tn
p n,r (t)dt = h n = h n
0≤i≤r
b n,i,r · 1.
Comme on le verra plus loin, la quantit´ e β r intervient dans le calcul de la constante
de stabilit´ e S.
¾º¾º ÖÖÖÙÖ ÓÒ×××ØÒÒÒ Ø ÓÖÖÖÖ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ AB r+1
Soit z une solution exacte du probl` eme de Cauchy. L’erreur de consistance est
donn´ ee par
e n = z(t n+1 ) − y n+1
= z(t n+1 ) −
z(t n ) +
tn+1
tn
p n,r (t)dt
,
e n =
tn+1
tn
z
(t) − p n,r (t)
dt,
o` u p n,r est pr´ ecis´ ement le polynˆ ome d’interpolation de la fonction z
(t) = f (t, z(t))
aux points t n−i , 0 ≤ i ≤ r. D’apr` es le th´ eor` eme de la moyenne, il existe un point
θ ∈ ]t n , t n+1 [ tel que
e n = h n
z
(θ) − p n,r (θ)
.