IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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o` u L n,i,r (t) =
0≤j≤r
j =i
t − t n−j
t n−i − t n−j
. On ´ ecrit maintenant :
z(t n+1 ) = z(t n ) +
tn+1
tn
f (t, z(t))dt
z(t n ) +
tn+1
tn
p n,r (t)dt
= z(t n ) + h n
0≤i≤r
b n,i,r f n,i
avec
b n,i,r =
1
h n
tn+1
tn
L n,i,r (t)dt.
L’algorithme de la m´ ethode d’Adams-Bashforth `
a r + 1 pas (en abr´ eg´ e AB r+1 ) va
donc s’´ ecrire :

   
   
y n+1 = y n + h n
0≤i≤r
b n,i,r f n−i , n ≥ r,
t n+1 = t n + h n
f n+1 = f (t n+1 , y n+1 ).
L’int´ erˆ et de cette m´ ethode provient de sa relative simplicit´ e et du fait qu’une
seule ´ evaluation de la fonction f est n´ ecessaire ` a chaque ´ etape (contrairement aux
m´ ethodes de Runge-Kutta qui en r´ eclamaient plusieurs). Il va en r´ esulter un gain
assez important sur le temps de calcul.
Exemples
• r = 0 : on a p n,0 (t) = constante = f n , d’o` u AB 1 : y n+1 = y n + h n f n . Il s’agit
de la m´ ethode d’Euler.
• r = 1 : le polynˆ ome p n,1 est la fonction affine qui interpole (t n , f n ) et (t n−1 , f n−1 ),
d’o` u les formules
p n,1 (t) = f n +
f n − f n−1
t n − t n−1
(t − t n )
tn+1
tn
p n,1 (t)dt = f n h n +
f n − f n−1
h n−1
1
2
(t − t n )
2
tn+1
tn
= b n
f n +
h n
2h n−1
(f n − f n−1 )
.
L’algorithme s’´ ecrit donc
AB 2

  
  
y n+1 = y n + h n
f n +
h n
2h n−1
(f n − f n−1 )
t n+1 = t n + h n
f n+1 = f (t n , y n ).