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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
le temps t n = nh n’est pas trop grand. Si la dur´ ee d’int´ egration est trop longue
(plus pr´ ecis´ ement, si h
4 e
T n’est plus n´ egligeable), on va obtenir un trac´ e de la forme
ci-dessous.
0
1
y
t n
T
t
y n
y = e
−t
• M´ ethode de Milne
C’est la m´ ethode ` a 4 pas d´ efinie par
y n+1 = y n−3 + h
8
3
f n −
4
3
f n−1 +
8
3
f n−2
.
On v´ erifie qu’elle est stable, d’ordre 4, mais comme pour la m´ ethode de Nystr¨ om
la stabilit´ e n’est pas tr` es bonne `
a cause des racines de module 1 du polynˆ ome
caract´ eristique λ
4
− 1 = 0.
¾º Å ØØÓÓÓ× ³³³Ñ×¹¹¹×××ÓÖØØ
¾º½º ××ÖÖÔØØÓÒ
On ne suppose plus ici que le pas h n soit n´ ecessairement constant. Si z est une
solution exacte de l’´ equation, on ´ ecrit
z(t n+1 ) = z(t n ) +
tn+1
tn
f (t, z(t))dt.
Supposons que pour 0 ≤ i ≤ r on ait d´ ej` a calcul´ e les points z(t n−i ) et les pentes
f n−i = f (t n−i , z(t n−i )).
L’id´ ee de la m´ ethode est d’approximer la fonction f (t, z(t)) sur [t n , t n+1 ] par
son polynˆ ome d’interpolation aux points t n , t n−1 , . . . , t n−r . Consid´ erons donc le
polynˆ ome p n,r (t) qui interpole les points (t n−i , f n−i ) pour 0 ≤ i ≤ r :
p n,r (t) =
0≤i≤r
f n−i L n,i,r (t), deg (p n,r ) = r,