IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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La suite y n sera donn´ ee par la relation de r´ ecurrence
y n+1 = y n−1 − 2hy n ,
n≥ 1
( ∗)
(car ici f n = −y n ), avec valeurs initiales :
y 0 = 1,
f 0 = −1,
y 1/2 = 1 −
h
2
, f 1/2 = −1 +
h
2
,
y 1 = 1 − h +
h
2
2
.
La solution g´ en´ erale de (∗) peut s’´ ecrire
y n = c 1 λ
n
1 + c 2 λ
n
2
o` u λ 1 , λ 2 sont les racines de l’´ equation
λ
2 + 2hk − 1 = 0,
` a savoir λ 1 = −h +
√
1 + h 2 , λ 2 = −h −
√
1 + h 2 . Les constantes c 1 , c 2 sont
d´ etermin´ ees par
y 0 = c 1 + c 2 = 1
y 1 = c 1 λ 1 + c 2 λ 2 = 1 − h +
h
2
2 .
On obtient donc
c 1 =
1 − h +
h
2
2 − λ 2
λ 1 − λ 2
=
1 +
h
2
2 +
√
1 + h 2
2
√
1 + h 2
,
c 2 =
λ 1 −
1 − h +
h
2
2
λ 1 − λ 2
=
√
1 + h 2 −
1 +
h
2
2
2
√
1 + h 2
.
Comme
√
1 + h 2 = 1 +
h
2
2 −
h
4
8 + O(h
6 ), on voit que
c 1 = 1 + O(h
4 )
c 2 = −
1
16
h
4 + O(h
6 )
Par ailleurs λ 1 = 1 − h +
h
2
2 + O(h
4 ) = e
−h + O(h
3 ),
tandis que λ 2 = −
1 + h +
h
2
2 + O(h
4 )
= −e
h + O(h
3 ).
On voit donc que y n est somme de deux termes
c 1 λ
n
1 e
−nh ,
c 2 λ
n
2 −
1
16
h
4 (−1)
n e
nh .
Le premier de ces termes approxime bien la solution exacte, mais le second est un
terme de perturbation qui diverge quand n → +∞, bien qu’il soit n´ egligeable quand