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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
t n−1
t n
t n+1
t n
y
y n+1
y n−1
f
pente f n
2h
on approxime la pente
1
2h (y n+1 − y n−1 ) de la corde par la pente de la tangente au
point milieu t n . Les calculs du § 1.1 donnent
e n =
h
3
3!
z
(3) (t n ) · 2 + O(h
4 ) =
h
3
3
f
[2] (t n , y n ) + O(h
4 ).
La m´ ethode de Nystr¨ om est donc d’ordre 2. Pour la phase d’initialisation, on
choisira une m´ ethode ` a 1 pas d’ordre 2, par exemple la m´ ethode du point milieu :
f 0 = f (t 0 , y 0 ) ;
y 1/2 = y 0 +
h
2
f 0 ; t 1/2 = t 0 +
h
2
; f 1/2 = f (t 1/2 , y 1/2 ) ;
y 1 = y 0 + hf 1/2 ; t 1 = t 0 + h ; f 1 = f (t 1 , y 1 ).
Le polynˆ ome caract´ eristique est λ
2
− 1. D’apr` es le § 1.2 la m´ ethode est stable et
1
1 − α 0 X − α 1 X 2 =
1
1 − X 2 =
X
2n .
On a donc Γ = 1, |β 0 | + |β 1 | = 2, d’o` u la constante de stabilit´ e
S
= e
2kt .
On observe n´ eanmoins que le polynˆ ome caract´ eristique admet la racine λ = −1
situ´ ee sur le cercle limite de stabilit´ e |λ| = 1, en plus de la racine oblig´ ee λ = 1.
Ceci laisse suspecter que la stabilit´ e n’est peut-ˆ etre pas tr` es bonne. Pour mettre en
´ evidence ce ph´ enom` ene, regardons le cas de l’´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= −y
avec donn´ ee initiale t 0 = 0, y 0 = 1. La solution exacte est donn´ ee par
z(t) = e
−t , z(t n ) = e
−nh .
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
t n−1
t n
t n+1
t n
y
y n+1
y n−1
f
pente f n
2h
on approxime la pente
1
2h (y n+1 − y n−1 ) de la corde par la pente de la tangente au
point milieu t n . Les calculs du § 1.1 donnent
e n =
h
3
3!
z
(3) (t n ) · 2 + O(h
4 ) =
h
3
3
f
[2] (t n , y n ) + O(h
4 ).
La m´ ethode de Nystr¨ om est donc d’ordre 2. Pour la phase d’initialisation, on
choisira une m´ ethode ` a 1 pas d’ordre 2, par exemple la m´ ethode du point milieu :
f 0 = f (t 0 , y 0 ) ;
y 1/2 = y 0 +
h
2
f 0 ; t 1/2 = t 0 +
h
2
; f 1/2 = f (t 1/2 , y 1/2 ) ;
y 1 = y 0 + hf 1/2 ; t 1 = t 0 + h ; f 1 = f (t 1 , y 1 ).
Le polynˆ ome caract´ eristique est λ
2
− 1. D’apr` es le § 1.2 la m´ ethode est stable et
1
1 − α 0 X − α 1 X 2 =
1
1 − X 2 =
X
2n .
On a donc Γ = 1, |β 0 | + |β 1 | = 2, d’o` u la constante de stabilit´ e
S
= e
2kt .
On observe n´ eanmoins que le polynˆ ome caract´ eristique admet la racine λ = −1
situ´ ee sur le cercle limite de stabilit´ e |λ| = 1, en plus de la racine oblig´ ee λ = 1.
Ceci laisse suspecter que la stabilit´ e n’est peut-ˆ etre pas tr` es bonne. Pour mettre en
´ evidence ce ph´ enom` ene, regardons le cas de l’´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= −y
avec donn´ ee initiale t 0 = 0, y 0 = 1. La solution exacte est donn´ ee par
z(t) = e
−t , z(t n ) = e
−nh .