IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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Or pour j ≤ n − 1 on a η j ≤ η n et δ 0 = |θ 0 | ≤ η n . On en d´ eduit
δ n ≤ η n (1 + e
Λh + . . . + e
Λnh ) =
e
Λ(n+1)h
− 1
e Λh − 1
η n .
Cette in´ egalit´ e entraˆ ıne aussitˆ ot une majoration de θ n :
|θ n | = δ n − δ n−1 ≤ Λhδ n−1 + η n−1
=
Λh
e
Λnh
− 1
e Λh − 1
+ 1
η n−1 .
Comme e
Λh
− 1 ≥ Λh, il vient |θ n | ≤ e
Λnh η n−1 , soit
|θ n | ≤ Γe
Λnh
1 +
0≤i≤r
|α i |
0≤i≤r
|θ i | +
r≤j≤n−1
|ε j |
,
max 0≤n≤N |θ n | ≤ S
1 +
0≤n≤r |α i |
0≤i≤r |θ n | +
r≤n≤N |ε n |
avec S
= Γe
ΛT , c’est-` a-dire
S
= Γe
ΓkT
|βi| o` u Γ = sup |γ n |.
Si l’erreur initiale max
0≤n≤r
|θ n | est n´ egligeable (comme c’est souvent le cas) on prendra
S = S
, sinon on peut prendre
S = (1 + r)
1 +
0≤i≤r
|α i |
S
.
Remarque – Pour une fonction f (t, y) de constante de Lipschitz k et pour une
dur´ ee d’int´ egration T fix´ ees, la stabilit´ e de la m´ ethode d´ epend essentiellement de la
grandeur de la constante Γ
|β i |. On a donc int´ erˆ et ` a choisir une m´ ethode pour
laquelle cette constante soit la plus petite possible.
½º¿º ÜÜÑÔÐÐ×
• M´ ethode de Nystr¨ om
C’est la m´ ethode ` a 2 pas d´ efinie par
y n+1 = y n−1 + 2hf n , n ≥ 1.
On a ici α 0 = 0, α 1 = 1, β 0 = 2, β 1 = 0. Le principe de cette m´ ethode est analogue
` a celui de la m´ ethode du point milieu :