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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Les coefficients de cette derni` ere s´ erie admettent l’´ equivalent n
q−1 λ
n
j /(q −1)! et sont
donc born´ es si et seulement si |λ j | < 1 ou bien |λ j | = 1 et q = 1.
Notons Γ = sup
n∈N
|γ n | < +∞. Comme γ 0 = 1, on a toujours Γ ≥ 1. La relation
θ n X
n =
γ n X
n
σ n X
n
´ equivaut `
a θ n = γ 0 σ n + γ 1 σ n−1 + . . . + γ n σ 0 , d’o` u
|θ n | ≤ Γ(|σ 0 | + |σ 1 | + . . . + |σ n |).
(∗∗)
En combinant (∗) et (∗∗) il vient
|θ n+1 | ≤ Γ
0≤j≤n+1
|σ j | ≤
r≤j≤n
|σ j+1 | +
0≤j≤r
|σ j |
|θ n+1 | ≤ Γ
r≤j≤n
kh
0≤i≤r
|β i ||θ j−i | + |ε j |
+
0≤j≤r
|σ j |
.
Or
r≤j≤n
0≤i≤r
|β i ||θ j−i | ≤
0≤i≤r
|β i |
0≤j≤n
|θ j |
et la relation de d´ efinition σ j = θ j − α 0 θ j−1 − . . . − α r θ j−r−1 donne par ailleurs
0≤j≤r
|σ j | ≤
1 +
0≤i≤r
|α i |
|θ 0 | + . . . + |θ r |
.
On obtient donc
|θ n+1 | ≤ Γkh
0≤i≤r
|β i |(|θ 0 | + . . . + |θ n |)
+ Γ


r≤j≤n
|ε j | +
1 +
0≤i≤r
|α i |
0≤i≤r
|θ i |

 .
Posons δ n = |θ 0 | + . . . + |θ n | et
Λ = Γk
0≤i≤r
|β i |,
η n = Γ


r≤j≤n
|ε j | +
1 +
0≤i≤r
|α i |
0≤i≤r
|θ i |

 .
La derni` ere in´ egalit´ e s’´ ecrit maintenant
δ n+1 − δ n ≤ Λhδ n + η n ⇔ δ n+1 ≤ (1 + Λh)δ n + η n
et le lemme de Gronwall discret (cf. VIII 2.3) donne
δ n ≤ e
Λnh δ 0 +
0≤j≤n−1
e
Λ(n−1−j)h η j .