IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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D´ emonstration. Soient deux suites y n ,
y n telles que
y n+1 =
0≤i≤r
α i y n−i + hβ i f n−i
y n+1 =
0≤i≤r
α i
y n−i + hβ i
f n−i + ε n

  
  
r ≤ n < N
avec
f n = f (t n ,
y n ). Posons θ n =
y n − y n . Il vient |
f n − f n | ≤ k|θ n | et
θ n+1 −
0≤i≤r
α i θ n−i = h
0≤i≤r
β i (
f n−i − f n−i ) + ε n .
Posons σ n = θ n − α 0 θ n−1 − . . . − α r θ n−r−1 . On a donc
|σ n+1 | ≤ kh
0≤i≤r
|β i ||θ n−i | + |ε n |, r ≤ n ≤ N.
(∗)
Pour exploiter cette in´ egalit´ e, on cherche ` a majorer |θ n+1 | en fonction des |σ i |. Pour
cela, on observe que la relation de d´ efinition de σ n ´ equivaut `
a l’´ egalit´ e formelle
σ n X
n = (
θ n X
n )(1 − α 0 X − . . . − α r X
r+1 )
avec la convention σ n = 0, θ n = 0 pour n < 0. On a donc inversement
θ n X
n =
1
1 − α 0 X − . . . − α r X r+1
σ n X
n .
Consid´ erons le d´ eveloppement en s´ erie en X = 0 :
1
1 − α 0 X − . . . − X r+1 =
γ n X
n .
Lemme – Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme, les coefficients γ n sont born´ es.
En effet, si les racines du polynˆ ome caract´ eristique sont les complexes λ j de
multiplicit´ e m j , on a
1 − α 0 X − . . . − α r X
r+1 =
j
(1 − λ j X)
mj .
Il existe par cons´ equent une d´ ecomposition en ´ el´ ements simples
1
1 − α 0 X − . . . − α r X r+1 =
j,q≤mj
c jq
(1 − λ j X) q .
Par r´ ecurrence sur q et par d´ erivation, on v´ erifie facilement que
1
(1 − λ j X) q =
+∞
n=0
(n + 1)(n + 2) . . . (n + q − 1)
(q − 1)!
λ
n
j X
n .