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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
L’ensemble des suites v´ erifiant cette relation de r´ ecurrence est un espace vectoriel
de dimension r + 1, car chaque suite est d´ efinie de mani` ere unique par la donn´ ee de
(y 0 , y 1 , . . . , y r ). On a de mani` ere ´ evidente des solutions particuli` eres
y n = λ
n ,
o` u λ est racine du polynˆ ome caract´ eristique
λ
r+1
− α 0 λ
r
− α 1 λ
r−1
− . . . − α r = 0.
Soient λ j les racines complexes de ce polynˆ ome, et m j les multiplicit´ es correspondantes. On sait (par une th´ eorie en tout point analogue `
a celle des ´ equations
diff´ erentielles lin´ eaires ` a coefficients constants), qu’une base de l’espace vectoriel
des suites consid´ er´ ees est form´ ee des suites
n → n
q λ
n
j ,
0 ≤ q < m j .
Consid´ erons maintenant la suite y n ≡ 0 et la suite
y n = ελ
n
j , 0 ≤ n ≤ N avec ε > 0
petit (on a ici ε n = 0, seule l’erreur d’initialisation intervient). Si la m´ ethode (M)
est stable, on doit avoir
| y N − y N | = ε|λ j |
N
≤ S max
0≤n≤r
ε|λ j |
n ,
ce qui ´ equivaut `
a
|λ j |
N
≤ S max(1, |λ j |
r ).
Si l’on fait tendre h vers 0 et N =
T
h vers +∞, ceci n’est possible que pour |λ j | ≤ 1.
Supposons maintenant que le polynˆ ome caract´ eristique admette une racine λ j de
module |λ j | = 1 et de multiplicit´ e m j ≥ 2. En regardant la suite
y n = nλ
n
j
on trouve
| y N − y N | = εN,
max
0≤n≤r
| y n − y n | = εr
ce qui contredit la stabilit´ e. On obtient donc la condition n´ ecessaire suivante :
|λ j | ≤ 1 pour tout j, et si |λ j | = 1 alors cette racine doit ˆ etre simple.
Condition suffisante de stabilit´ e* – On va voir que la condition n´ ecessaire
qui vient d’ˆ etre trouv´ ee est en fait suffisante.
Th´ eor` eme – On suppose que f (t, y) est k-lipschitzienne en y. Alors la m´ ethode
(M) est stable si et seulement si
λ
r+1
− α 0 λ
r
− . . . − α r = 0
a toutes ses racines de module ≤ 1 et si les racines de module 1 sont simples.
Remarque. On observera que λ = 1 est toujours racine d` es que la m´ ethode est
consistante, puisqu’alors α 0 + . . . + α r = 1.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
L’ensemble des suites v´ erifiant cette relation de r´ ecurrence est un espace vectoriel
de dimension r + 1, car chaque suite est d´ efinie de mani` ere unique par la donn´ ee de
(y 0 , y 1 , . . . , y r ). On a de mani` ere ´ evidente des solutions particuli` eres
y n = λ
n ,
o` u λ est racine du polynˆ ome caract´ eristique
λ
r+1
− α 0 λ
r
− α 1 λ
r−1
− . . . − α r = 0.
Soient λ j les racines complexes de ce polynˆ ome, et m j les multiplicit´ es correspondantes. On sait (par une th´ eorie en tout point analogue `
a celle des ´ equations
diff´ erentielles lin´ eaires ` a coefficients constants), qu’une base de l’espace vectoriel
des suites consid´ er´ ees est form´ ee des suites
n → n
q λ
n
j ,
0 ≤ q < m j .
Consid´ erons maintenant la suite y n ≡ 0 et la suite
y n = ελ
n
j , 0 ≤ n ≤ N avec ε > 0
petit (on a ici ε n = 0, seule l’erreur d’initialisation intervient). Si la m´ ethode (M)
est stable, on doit avoir
| y N − y N | = ε|λ j |
N
≤ S max
0≤n≤r
ε|λ j |
n ,
ce qui ´ equivaut `
a
|λ j |
N
≤ S max(1, |λ j |
r ).
Si l’on fait tendre h vers 0 et N =
T
h vers +∞, ceci n’est possible que pour |λ j | ≤ 1.
Supposons maintenant que le polynˆ ome caract´ eristique admette une racine λ j de
module |λ j | = 1 et de multiplicit´ e m j ≥ 2. En regardant la suite
y n = nλ
n
j
on trouve
| y N − y N | = εN,
max
0≤n≤r
| y n − y n | = εr
ce qui contredit la stabilit´ e. On obtient donc la condition n´ ecessaire suivante :
|λ j | ≤ 1 pour tout j, et si |λ j | = 1 alors cette racine doit ˆ etre simple.
Condition suffisante de stabilit´ e* – On va voir que la condition n´ ecessaire
qui vient d’ˆ etre trouv´ ee est en fait suffisante.
Th´ eor` eme – On suppose que f (t, y) est k-lipschitzienne en y. Alors la m´ ethode
(M) est stable si et seulement si
λ
r+1
− α 0 λ
r
− . . . − α r = 0
a toutes ses racines de module ≤ 1 et si les racines de module 1 sont simples.
Remarque. On observera que λ = 1 est toujours racine d` es que la m´ ethode est
consistante, puisqu’alors α 0 + . . . + α r = 1.