IX – M´ ethodes `
a pas multiples
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En particulier, elle est d’ordre ≥ 1 (ou consistante) si et seulement si
α 0 + α 1 + . . . + α r = 1
α 1 + . . . + rα r − (β 0 + . . . + β r ) = −1.
Pour qu’elle soit d’ordre ≥ p, la p-i` eme condition s’explicite de la mani` ere suivante :
α 1 + 2
p α 2 + . . . + r
p α r − p(β 1 + 2
p−1 β 2 + . . . + r
p−1 β r ) = (−1)
p .
½º¾º ËØÐÐØ
On dit qu’une m´ ethode ` a pas multiples est stable si une petite perturbation des
valeurs initiales y 0 , . . . , y r et de petites erreurs ε n dans le calcul r´ ecurrent des valeurs
y n+1 , r ≤ n < N, provoquent une erreur finale contrˆ olable. De fa¸ con pr´ ecise :
D´ efinition – On dit qu’une m´ ethode ` a r+1 pas est stable de constante de stabilit´ e
S si pour toutes suites y n ,
y n avec
y n+1 = Ψ(t n−i , y n−i , h n−i ),
r≤ n < N,
y n+1 = Ψ(t n−i ,
y n−i , h n−i ) + ε n , r ≤ n < N,
alors
max
0≤n≤N
| y n − y n | ≤ S
max
0≤n≤r
| y n − y n | +
r≤n |ε n |
.
En appliquant cette d´ efinition `
a
y n = z(t n ), on voit que l’erreur globale de la suite
y n par rapport `
a la solution exacte z(t n ) admet la majoration
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| ≤ S
max
0≤n≤r
|y n − z(t n )| +
r≤n |e n |
.
Si la m´ ethode est d’ordre p avec |e n | ≤ Ch n h
p
max , alors on a
r≤n |e n | ≤ CT h
p
max
car
h n = T . Pour la phase d’initialisation, il convient donc de choisir une
m´ ethode conduisant `
a une erreur d’initialisation max
0≤n≤r
|y n −z(t n )| de l’ordre de h
p
max
au plus. Ceci conduit `
a choisir une m´ ethode d’initialisation d’ordre ≥ p − 1. Il est
toutefois pr´ ef´ erable de choisir une m´ ethode d’ordre ≥ p, car l’erreur d’initialisation
est alors born´ ee par C
h
p+1
max et donc n´ egligeable.
Condition n´ ecessaire de stabilit´ e – On cherche ` a d´ eterminer les conditions
n´ ecessaires ` a la stabilit´ e de la m´ ethode (M) d´ ecrite au §1.1. Pour cela, on consid` ere
l’´ equation diff´ erentielle la plus simple qui soit :
(E)
y
= 0.
La suite y n est alors d´ efinie par
y n+1 =
0≤i≤r
α i y n−i ,
n≥ r.