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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
½º½º ÖÖÖÙÖ ÓÒ×××ØÒÒÒ Ø ÓÖÖÖÖ
La d´ efinition g´ en´ erale de l’erreur de consistance pour une m´ ethode ` a r + 1 pas est
la suivante (on ne suppose pas n´ ecessairement dans cette d´ efinition que le pas est
constant).
D´ efinition – Soit z une solution exacte de l’´ equation (E). L’erreur de consistance
e n relative `
a z est l’´ ecart
e n = z(t n+1 ) − y n+1 , r ≤ n < N,
obtenu en calculant y n+1 ` a partir des r + 1 valeurs pr´ ec´ edentes suppos´ ees exactes
y n = z(t n ), . . . , y n−r = z(t n−r ).
La m´ ethode est dite d’ordre p si pour toute solution z il existe une constante C telle
que
|e n | ≤ Ch n h
p
max .
D´ eterminons e n dans le cas de la m´ ethode (M) ci-dessus. On a
z(t n+1 ) = z(t n + h) =
0≤k≤p
h
k
k!
z
(k) (t n ) + O(h
p+1 )
d` es que f est de classe C
p (z est alors de classe C
p+1 ). Par ailleurs
y n−i = z(t n−i ) = z(t n − ih) =
0≤k≤p
(−ih)
k
k!
z
(k) (t n ) + O(h
p+1 ),
f n−i = f (t n−i , z(t n−i )) = z
(t n−i ) = z
(t n − ih)
=
0≤k≤p−1
(−ih)
k
k!
z
(k+1) (t n ) + O(h
p )
=
0≤k≤p
k
(−ih)
k−1
k!
z
(k) (t n ) + O(h
p ).
Il vient par cons´ equent
e n = z(t n+1 ) − y n+1 = z(t n+1 ) −
0≤i≤r
(α i y n−i + hβ i f n−i )
=
0≤k≤p
h
k
k!
z
(k) (t n )
1 −
0≤i≤r
(α i (−i)
k + kβ i (−i)
k−1 )
+ O(h
p+1 )
=
0≤k≤p
h
k
k!
z
(k) (t n )
1 − (−1)
k
0≤i≤r
i
k α i − ki
k−1 β i
+ O(h
p+1 ).
La m´ ethode (M) est donc d’ordre ≥ p si et seulement si elle v´ erifie les conditions
0≤i≤r
i
k α i − ki
k−1 β i = (−1)
k ,
0 ≤ k ≤ p.