ÔÔØÖÖ ÁÁ
Å
ØØÓÓÓ×
Ô× ÑÙÐØØÔÐÐ×
Comme dans le chapitre pr´ ec´ edent, on s’int´ eresse ` a la r´ esolution num´ erique du
probl` eme de Cauchy relatif ` a une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y),
(t, y) ∈ [t 0 , t 0 + T ] × R.
Si (t n ) 0≤n≤N est une subdivision de [t 0 , t 0 + T ] de pas successifs h n = t n+1 − t n , on
appelle m´ ethode num´ erique `
a r + 1 pas toute m´ ethode num´ erique de la forme
y n+1 = Ψ(t n , y n , h n ; . . . ; t n−r , y n−r , h n−r ).
L’int´ erˆ et de ces m´ ethodes vient du fait qu’on peut obtenir un ordre ´ elev´ e pour une
complexit´ e de calcul nettement inf´ erieure ` a celle des m´ ethodes de Runge-Kutta.
L’un des probl` emes essentiels, n´ eanmoins, est de s’assurer que la stabilit´ e num´ erique
reste suffisamment bonne.
½º ÍÒÒ ÐÐ××× Ñ ØØÓÓÓ× ÚÚÚ Ô× ÓÒ×ØÒØ
On suppose ici que le pas h n = h est constant. On s’int´ eresse aux m´ ethodes ` a r + 1
pas permettant un calcul r´ ecurrent des points (t n , y n ) et des pentes f n = f (t n , y n )
sous la forme
(M)
y n+1 =
0≤i≤r
α i y n−i + h
0≤i≤r
β i f n−i
t n+1 = t n + h
f n+1 = f (t n+1 , y n+1 )
o` u les α i , β i , 0 ≤ i ≤ r sont des constantes r´ eelles.
D´ emarrage de l’algorithme – Le point initial (t 0 , y 0 ) ´ etant donn´ e, l’algorithme ne peut d´ emarrer que si les valeurs (y 1 , f 1 ), . . . , (y r , f r ) ont d´ ej` a ´ et´ e calcul´ ees.
Ce calcul ne peut ˆ etre fait que par une m´ ethode ` a un pas pour (y 1 , f 1 ), `
a au plus
2 pas pour (y 2 , f 2 ), . . . au plus r pas pour (y r , f r ). L’initialisation des r premi` eres
valeurs (y i , f i ), 1 ≤ i ≤ r, sera g´ en´ eralement faite `
a l’aide d’une m´ ethode de RungeKutta d’ordre sup´ erieur ou ´ egal ` a celui de la m´ ethode (M), ou `
a la rigueur un de
moins (voir le d´ ebut du § 1.2 sur ce point).
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Comme dans le chapitre pr´ ec´ edent, on s’int´ eresse ` a la r´ esolution num´ erique du
probl` eme de Cauchy relatif ` a une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y),
(t, y) ∈ [t 0 , t 0 + T ] × R.
Si (t n ) 0≤n≤N est une subdivision de [t 0 , t 0 + T ] de pas successifs h n = t n+1 − t n , on
appelle m´ ethode num´ erique `
a r + 1 pas toute m´ ethode num´ erique de la forme
y n+1 = Ψ(t n , y n , h n ; . . . ; t n−r , y n−r , h n−r ).
L’int´ erˆ et de ces m´ ethodes vient du fait qu’on peut obtenir un ordre ´ elev´ e pour une
complexit´ e de calcul nettement inf´ erieure ` a celle des m´ ethodes de Runge-Kutta.
L’un des probl` emes essentiels, n´ eanmoins, est de s’assurer que la stabilit´ e num´ erique
reste suffisamment bonne.
½º ÍÒÒ ÐÐ××× Ñ ØØÓÓÓ× ÚÚÚ Ô× ÓÒ×ØÒØ
On suppose ici que le pas h n = h est constant. On s’int´ eresse aux m´ ethodes ` a r + 1
pas permettant un calcul r´ ecurrent des points (t n , y n ) et des pentes f n = f (t n , y n )
sous la forme
(M)
y n+1 =
0≤i≤r
α i y n−i + h
0≤i≤r
β i f n−i
t n+1 = t n + h
f n+1 = f (t n+1 , y n+1 )
o` u les α i , β i , 0 ≤ i ≤ r sont des constantes r´ eelles.
D´ emarrage de l’algorithme – Le point initial (t 0 , y 0 ) ´ etant donn´ e, l’algorithme ne peut d´ emarrer que si les valeurs (y 1 , f 1 ), . . . , (y r , f r ) ont d´ ej` a ´ et´ e calcul´ ees.
Ce calcul ne peut ˆ etre fait que par une m´ ethode ` a un pas pour (y 1 , f 1 ), `
a au plus
2 pas pour (y 2 , f 2 ), . . . au plus r pas pour (y r , f r ). L’initialisation des r premi` eres
valeurs (y i , f i ), 1 ≤ i ≤ r, sera g´ en´ eralement faite `
a l’aide d’une m´ ethode de RungeKutta d’ordre sup´ erieur ou ´ egal ` a celui de la m´ ethode (M), ou `
a la rigueur un de
moins (voir le d´ ebut du § 1.2 sur ce point).