VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
247
Au lieu de comparer
|en|
hn ` a δ, on peut essayer de comparer
λ
2
n + µ
2
n
` a
δ
ou (plus rapide)
|λ n | + |µ n |
` a
δ
=
√
δ =
ε
ST
,
quitte `
a ajuster ´ eventuellement les valeurs de δ et δ
par tatonnements.
Si l’on d´ esire une ´ evaluation plus pr´ ecise de e n , il est n´ ecessaire d’utiliser des
techniques plus ´ elabor´ ees, telles que les m´ ethodes de Runge-Kutta emboˆ ıt´ ees (voir
par exemple le livre de Crouzeix-Mignot, chapitre 5, § 6).
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. On ´ etudie la m´ ethode num´ erique (M) de r´ esolution de l’´ equation diff´ erentielle
y
= f (x, y) d´ efinie par
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ),
Φ(t, y, h) = αf (t, y) + βf (t +
h
2
, y +
h
2
f (t, y)) + γf (t + h, y + hf (t, h))
o` u α, β, γ sont des r´ eels compris entre 0 et 1.
(a) Pour quelles valeurs du triplet (α, β, γ) retrouve-t-on
• la m´ ethode d’Euler ?
• la m´ ethode du point milieu ?
• la m´ ethode de Heun ?
(b) Dans cette question et la suivante, on supposera que la fonction f (t, y) est de
classe C
∞ sur [t 0 , t 0 + τ ] × R, et k-lipschitzienne en y. Pour quelles valeurs de
(α, β, γ) la m´ ethode propos´ ee est-elle stable ?
(c) Quelles relations doivent satisfaire (α, β, γ) pour que la m´ ethode soit
consistante ? convergente ? d’ordre ≥ 1 ? d’ordre ≥ 2 ?
La m´ ethode (M) peut-elle ˆ etre d’ordre sup´ erieur ?
5.2. On consid` ere la m´ ethode de Runge-Kutta d´ efinie par le tableau
0
0
0
0
1/4
1
0
0
3/4 −9/20 6/5 0
1
1/9
1/3 5/9
a un pas
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Au lieu de comparer
|en|
hn ` a δ, on peut essayer de comparer
λ
2
n + µ
2
n
` a
δ
ou (plus rapide)
|λ n | + |µ n |
` a
δ
=
√
δ =
ε
ST
,
quitte `
a ajuster ´ eventuellement les valeurs de δ et δ
par tatonnements.
Si l’on d´ esire une ´ evaluation plus pr´ ecise de e n , il est n´ ecessaire d’utiliser des
techniques plus ´ elabor´ ees, telles que les m´ ethodes de Runge-Kutta emboˆ ıt´ ees (voir
par exemple le livre de Crouzeix-Mignot, chapitre 5, § 6).
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. On ´ etudie la m´ ethode num´ erique (M) de r´ esolution de l’´ equation diff´ erentielle
y
= f (x, y) d´ efinie par
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ),
Φ(t, y, h) = αf (t, y) + βf (t +
h
2
, y +
h
2
f (t, y)) + γf (t + h, y + hf (t, h))
o` u α, β, γ sont des r´ eels compris entre 0 et 1.
(a) Pour quelles valeurs du triplet (α, β, γ) retrouve-t-on
• la m´ ethode d’Euler ?
• la m´ ethode du point milieu ?
• la m´ ethode de Heun ?
(b) Dans cette question et la suivante, on supposera que la fonction f (t, y) est de
classe C
∞ sur [t 0 , t 0 + τ ] × R, et k-lipschitzienne en y. Pour quelles valeurs de
(α, β, γ) la m´ ethode propos´ ee est-elle stable ?
(c) Quelles relations doivent satisfaire (α, β, γ) pour que la m´ ethode soit
consistante ? convergente ? d’ordre ≥ 1 ? d’ordre ≥ 2 ?
La m´ ethode (M) peut-elle ˆ etre d’ordre sup´ erieur ?
5.2. On consid` ere la m´ ethode de Runge-Kutta d´ efinie par le tableau
0
0
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3/4 −9/20 6/5 0
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