VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
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que |e
∗
n |/h n ≤ δ, et si l’erreur est notablement inf´ erieure on se permet d’augmenter
prudemment h n . Par exemple :
• si
1
3 δ ≤
|e
∗
n |
hn ≤ δ, alors h n+1 := h n ;
• si
|e
∗
n |
hn <
1
3 δ, alors h n+1 := min(1.25 h n , h max ) ;
• si
|e
∗
n |
hn > δ, alors h n+1 := 0.8 h n , avec arrˆ et de l’algorithme si h n+1 < h min .
Ce dernier cas peut correspondre ` a l’approche d’une discontinuit´ e, l’erreur augmentant continuellement malgr´ e la diminution du pas.
Pour l’initialisation du pas, on prend h 0 = h min , `
a moins que l’on connaisse une
valeur initiale plus appropri´ ee.
º¾º ×ØØÑÑØØÓÒ Ù ÖÖÔÔÓÖØ |e n |/h n
Pour estimer e n , il n’est pas question d’utiliser les expressions analytiques des
d´ eriv´ ees
∂
l Φ
∂h l et f
[l] , beaucoup trop coˆ uteuses en temps de calcul. On est donc amen´ e
` a rechercher des estimations ad hoc, qui n’utilisent si possible que des quantit´ es d´ ej` a
calcul´ ees par l’algorithme, et qui ne r´ eclament pas de nouvelle ´ evaluation de f .
• M´ ethode d’Euler
Si p n = f (t n , y n ), alors
p n+1 − p n = f (t n + h n , y n + h n f (t n , y n )) − f (t n , y n )
= h n f
t (t n , y n ) + h n f (t n , y n )f
y (t n , y n ) + o(h n )
= h n f
[1] (t n , y n ) + o(h n ).
Comme e n =
1
2 h
2
n f
[1] (t n , y n ) + o(h
2
n ) on a une approximation de e n donn´ ee par
e
∗
n
h n
=
1
2
(p n+1 − p n ).
Ceci ne n´ ecessite aucun calcul suppl´ ementaire puisque p n+1 est de toute fa¸ con
n´ ecessaire pour l’´ etape suivante.
• M´ ethode de Runge-Kutta d’ordre 2
0
0
0
α
α
0
1 −
1
2α
1
2α
D’apr` es le § 2.4 on a ici
e n = h
3
n
1
3!
f
[2] (t n , y n ) −
1
2!
∂
2 Φ
∂h 2 (t n , y n , 0)
+ o(h
3
n ),