244
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
º ÓÒØÖ ÓÐÐ Ù Ô×
La mani` ere la plus simple pour appliquer une m´ ethode de r´ esolution num´ erique
consiste ` a utiliser un pas constant h n = h.
La principale difficult´ e est alors de d´ eterminer h max de fa¸ con que l’erreur globale ne
d´ epasse pas une certaine tol´ erance ε fix´ ee ` a l’avance ; on ne sait pas en effet quelle
sera l’´ evolution de la solution ´ etudi´ ee, de sorte qu’il est difficile de pr´ evoir a priori
les erreurs de consistance.
L’utilisation d’algorithmes `
a pas variables pr´ esente de ce point de vue deux
avantages majeurs :
• l’adaptation du pas `
a chaque ´ etape permet d’optimiser l’erreur commise en
fonction de la tol´ erance prescrite ε, sous r´ eserve qu’on dispose d’une estimation
instantan´ ee de l’erreur de consistance e n .
• l’approche d’une discontinuit´ e ou d’une singularit´ e de l’´ equation diff´ erentielle ne
peut se faire g´ en´ eralement qu’avec une r´ eduction importante du pas. Dans cette
circonstance, il convient d’arrˆ eter l’algorithme avant de traverser la discontinuit´ e,
faute de quoi les erreurs deviennent impr´ evisibles. Le calcul du pas sert alors de
test d’arrˆ et.
º½º ÈÖÖÒÒÒÔÔ Ò ÖÖÐ Ù ÓÒØÖ ÓÐÐ
Soit [t 0 , t 0 + T ] l’intervalle de temps consid´ er´ e. On suppose fix´ ee une tol´ erance ε
pour l’erreur globale
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )|.
Supposons ´ egalement qu’on dispose d’un estimation S de la constante de stabilit´ e.
En n´ egligeant l’erreur initiale |y 0 − z(t 0 )| et les erreurs d’arrondi, on a alors
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| ≤ S
0≤n
h n
|e n |
h n
≤ S
h n
max
|e n |
h n
≤ ST max
|e n |
h n
.
Il suffit donc de choisir les pas h n en sorte que
max
|e n |
h n
≤ δ =
ε
ST
;
|en|
hn repr´ esente intuitivement l’erreur de consistance par unit´ e de temps, et c’est ce
rapport qu’il s’agit de contrˆ oler.
Il est bien entendu impossible de d´ eterminer exactement e n , sinon on connaˆ ıtrait du
mˆ eme coup la solution exacte par la formule z(t n+1 ) = y n+1 + e n ! On va supposer
n´ eanmoins qu’on dispose d’une estimation e
∗
n de e n .
Dans la pratique, on se fixe un encadrement [h min , h max ] du pas (h min est impos´ e
par les limitations du temps de calcul et par l’accroissement des erreurs d’arrondi
quand le pas diminue, cf. § 2.5). On essaie alors de choisir h n ∈ [h min , h max ] de fa¸ con
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
º ÓÒØÖ ÓÐÐ Ù Ô×
La mani` ere la plus simple pour appliquer une m´ ethode de r´ esolution num´ erique
consiste ` a utiliser un pas constant h n = h.
La principale difficult´ e est alors de d´ eterminer h max de fa¸ con que l’erreur globale ne
d´ epasse pas une certaine tol´ erance ε fix´ ee ` a l’avance ; on ne sait pas en effet quelle
sera l’´ evolution de la solution ´ etudi´ ee, de sorte qu’il est difficile de pr´ evoir a priori
les erreurs de consistance.
L’utilisation d’algorithmes `
a pas variables pr´ esente de ce point de vue deux
avantages majeurs :
• l’adaptation du pas `
a chaque ´ etape permet d’optimiser l’erreur commise en
fonction de la tol´ erance prescrite ε, sous r´ eserve qu’on dispose d’une estimation
instantan´ ee de l’erreur de consistance e n .
• l’approche d’une discontinuit´ e ou d’une singularit´ e de l’´ equation diff´ erentielle ne
peut se faire g´ en´ eralement qu’avec une r´ eduction importante du pas. Dans cette
circonstance, il convient d’arrˆ eter l’algorithme avant de traverser la discontinuit´ e,
faute de quoi les erreurs deviennent impr´ evisibles. Le calcul du pas sert alors de
test d’arrˆ et.
º½º ÈÖÖÒÒÒÔÔ Ò ÖÖÐ Ù ÓÒØÖ ÓÐÐ
Soit [t 0 , t 0 + T ] l’intervalle de temps consid´ er´ e. On suppose fix´ ee une tol´ erance ε
pour l’erreur globale
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )|.
Supposons ´ egalement qu’on dispose d’un estimation S de la constante de stabilit´ e.
En n´ egligeant l’erreur initiale |y 0 − z(t 0 )| et les erreurs d’arrondi, on a alors
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| ≤ S
0≤n
h n
|e n |
h n
≤ S
h n
max
|e n |
h n
≤ ST max
|e n |
h n
.
Il suffit donc de choisir les pas h n en sorte que
max
|e n |
h n
≤ δ =
ε
ST
;
|en|
hn repr´ esente intuitivement l’erreur de consistance par unit´ e de temps, et c’est ce
rapport qu’il s’agit de contrˆ oler.
Il est bien entendu impossible de d´ eterminer exactement e n , sinon on connaˆ ıtrait du
mˆ eme coup la solution exacte par la formule z(t n+1 ) = y n+1 + e n ! On va supposer
n´ eanmoins qu’on dispose d’une estimation e
∗
n de e n .
Dans la pratique, on se fixe un encadrement [h min , h max ] du pas (h min est impos´ e
par les limitations du temps de calcul et par l’accroissement des erreurs d’arrondi
quand le pas diminue, cf. § 2.5). On essaie alors de choisir h n ∈ [h min , h max ] de fa¸ con