VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
243
La condition
∂
2 Φ
∂h 2 (t, y, 0) =
1
3 f
[2] (t, y) se traduit en g´ en´ eral par les conditions
j
b j c
2
j =
1
3
,
i,j
b i a ij c j =
1
6
(prendre respectivement f (t, y) = t
2 , puis f (t, y) = t + y pour obtenir ces deux
conditions). Un calcul analogue (p´ enible !) de
∂
3 Φ
∂h 3 conduirait au r´ esultat suivant.
Th´ eor` eme – La m´ ethode de Runge-Kutta d´ efinie par le tableau des coefficients
c i , a ij , b j est
• d’ordre ≥ 2 ssi
j
b j c j =
1
2
.
• d’ordre ≥ 3 ssi
j
b j c j =
1
2
;
j
b j c
2
j =
1
3
;
i,j
b i a ij c j =
1
6
.
• d’ordre ≥ 4 ssi
j
b j c j =
1
2
;
j
b j c
2
j =
1
3
;
j
b j c
3
j =
1
4
i,j
b i a ij c j =
1
6
;
i,j
b i a ij c
2
j =
1
12
;
i,j
b i c i a ij c j =
1
8
;
i,j,k
b i a ij a jk c k =
1
12
.
Pour la v´ erification pratique, on notera que certaines des expressions pr´ ec´ edentes
sont des produits des matrices C =
c 1
. . .
c q
, A = (a ij ), B = (b 1 b 2 . . . b q ). Ainsi
i,j
b i a ij c j = BAC,
i,j,k
b i a ij a jk c k = BA
2 C.
Pour les exemples du § 3.2, on voit ainsi que la m´ ethode d’Euler est d’ordre 1, et
que les m´ ethodes de l’exemple 2 sont d’ordre 2. De plus, dans une m´ ethode avec
q = 2, il y a a priori un seul coefficient a ij non nul, `
a savoir α = a 21 . On a alors
c 2 =
j<2 a 2j = α et la m´ ethode est d’ordre 2 au moins ssi
b j c j = b 2 α = 1/2,
soit b 2 = 1/2α et b 1 = 1 − b 2 = 1 − 1/2α. On voit donc qu’il n’y avait pas d’autres
choix possibles pour une m´ ethode d’ordre 2 avec q = 2.
Enfin, la m´ ethode Runge-Kutta classique pr´ esent´ ee dans l’exemple 3 est d’ordre 4
(l’ordre n’est pas ≥ 5 car
b j c
4
j = 1/5). C’est si l’on peut dire la m´ ethode
reine des m´ ethodes ` a un pas : ordre ´ elev´ e, grande stabilit´ e (grˆ ace ` a la positivit´ e
des coefficients, voir remarque finale du § 3.3). Il existe des m´ ethodes d’ordre encore
plus ´ elev´ e (voir exercice 5.4), mais leur plus grande complexit´ e les rend peut-ˆ etre
un peu moins praticables.
a un pas
243
La condition
∂
2 Φ
∂h 2 (t, y, 0) =
1
3 f
[2] (t, y) se traduit en g´ en´ eral par les conditions
j
b j c
2
j =
1
3
,
i,j
b i a ij c j =
1
6
(prendre respectivement f (t, y) = t
2 , puis f (t, y) = t + y pour obtenir ces deux
conditions). Un calcul analogue (p´ enible !) de
∂
3 Φ
∂h 3 conduirait au r´ esultat suivant.
Th´ eor` eme – La m´ ethode de Runge-Kutta d´ efinie par le tableau des coefficients
c i , a ij , b j est
• d’ordre ≥ 2 ssi
j
b j c j =
1
2
.
• d’ordre ≥ 3 ssi
j
b j c j =
1
2
;
j
b j c
2
j =
1
3
;
i,j
b i a ij c j =
1
6
.
• d’ordre ≥ 4 ssi
j
b j c j =
1
2
;
j
b j c
2
j =
1
3
;
j
b j c
3
j =
1
4
i,j
b i a ij c j =
1
6
;
i,j
b i a ij c
2
j =
1
12
;
i,j
b i c i a ij c j =
1
8
;
i,j,k
b i a ij a jk c k =
1
12
.
Pour la v´ erification pratique, on notera que certaines des expressions pr´ ec´ edentes
sont des produits des matrices C =
c 1
. . .
c q
, A = (a ij ), B = (b 1 b 2 . . . b q ). Ainsi
i,j
b i a ij c j = BAC,
i,j,k
b i a ij a jk c k = BA
2 C.
Pour les exemples du § 3.2, on voit ainsi que la m´ ethode d’Euler est d’ordre 1, et
que les m´ ethodes de l’exemple 2 sont d’ordre 2. De plus, dans une m´ ethode avec
q = 2, il y a a priori un seul coefficient a ij non nul, `
a savoir α = a 21 . On a alors
c 2 =
j<2 a 2j = α et la m´ ethode est d’ordre 2 au moins ssi
b j c j = b 2 α = 1/2,
soit b 2 = 1/2α et b 1 = 1 − b 2 = 1 − 1/2α. On voit donc qu’il n’y avait pas d’autres
choix possibles pour une m´ ethode d’ordre 2 avec q = 2.
Enfin, la m´ ethode Runge-Kutta classique pr´ esent´ ee dans l’exemple 3 est d’ordre 4
(l’ordre n’est pas ≥ 5 car
b j c
4
j = 1/5). C’est si l’on peut dire la m´ ethode
reine des m´ ethodes ` a un pas : ordre ´ elev´ e, grande stabilit´ e (grˆ ace ` a la positivit´ e
des coefficients, voir remarque finale du § 3.3). Il existe des m´ ethodes d’ordre encore
plus ´ elev´ e (voir exercice 5.4), mais leur plus grande complexit´ e les rend peut-ˆ etre
un peu moins praticables.