VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
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avec Φ(t n , y n , h n ) =
1≤j≤q
b j p n,j . La fonction Φ est d´ efinie de mani` ere explicite par

   
   
Φ(t, y, h) =
1≤j≤q
b j f (t + c j h, y j ) avec
y i = y + h
1≤j a ij f (t + c j h, y j ), 1 ≤ i ≤ q.
(∗)
Supposons que f soit k-lipschitzienne en y. On va montrer que Φ est alors ´ egalement
lipschitzienne. Soit z ∈ R et supposons Φ(t, z, h) et z i d´ efinis `
a partir de z comme
dans la formule (∗).
Lemme – Soit α = max
i
1≤j≤i
|a ij |
. Alors
|y i − z i | ≤ (1 + (αkh) + (αkh)
2 + . . . + (αkh)
i−1 )|y − z|.
On d´ emontre le lemme par r´ ecurrence sur i. Pour i = 1, on a y 1 = y, z 1 = z et le
r´ esultat est ´ evident. Supposons l’in´ egalit´ e vraie pour tout j < i. Alors
|y i − z i | ≤ |y − z| + h
j |a ij | · k · max
j |y j − z j |,
|y i − z i | ≤ |y − z| + αkh max
j |y j − z j |.
Par hypoth` ese de r´ ecurrence il vient
max
j |y j − z j | ≤ (1 + αkh + . . . + (αkh)
i−2 )|y − z|,
et l’in´ egalit´ e s’ensuit ` a l’ordre i.
La formule (∗) entraˆ ıne maintenant
|Φ(t, y, h) − Φ(t, z, h)| ≤
1≤j≤q
|b j | k |y j − z j | ≤ Λ|y − z|
avec
Λ = k
1≤j≤q
|b j |(1 + (αkh max ) + . . . + (αkh max )
j−1 ).
Corollaire – Les m´ ethodes de Runge-Kutta sont stables, avec constante de
stabilit´ e S = e
ΛT .
Remarque – Dans le cas fr´ equent o` u les coefficients b j sont ≥ 0, on a la relation
Λ ≤ k(1 + (αkh max ) + . . . + (αkh max )
q−1 ).
Si les coefficients a ij sont eux-mˆ emes ≥ 0, on a α = max
i
c i .
Lorsque h max est assez petit devant 1/αk, la constante de stabilit´ e est donc de
l’ordre de grandeur de e
kT . Ces observations montrent que les m´ ethodes de RungeKutta d´ ecrites dans les exemples 1, 2, 3 du § 3.3 poss` edent une excellente stabilit´ e
(il est facile de voir que e
kT est la borne inf´ erieure possible pour S, quelle que soit
la m´ ethode utilis´ ee : consid´ erer pour cela l’´ equation y
= ky).