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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Exemple 3 – M´ ethode de Runge-Kutta classique :
Il s’agit de la m´ ethode d´ efinie par le tableau
q = 4,
0
0 0 0 0
1
2
1
2
0 0 0
1
2
0
1
2
0 0
1
0 0 1 0
1
6
2
6
2
6
1
6
L’algorithme correspondant s’´ ecrit

                   
                   
p n,1 = f (t n , y n )
t n,2 = t n +
1
2 h n
y n,2 = y n +
1
2 h n p n,1
p n,2 = f (t n,2 , y n,2 )
y n,3 = y n +
1
2 h n p n,2
p n,3 = f (t n,2 , y n,3 )
(noter que t n,3 = t n,2 )
t n+1 = t n + h n
(noter que t n,4 = t n+1 )
y n,4 = y n + h n p n,3
p n,4 = f (t n+1 , y n,4 )
y n+1 = y n + h n
1
6 p n,1 +
2
6 p n,2 +
2
6 p n,3 +
1
6 p n,4
On verra plus loin que cette m´ ethode est d’ordre 4. Dans ce cas les m´ ethodes
d’int´ egration (M i ) et (M) utilis´ ees sont respectivement :
(M 2 )
1
2
0
g(t)dt
1
2
g(0) :
rectangles ` a gauche,
(M 3 )
1
2
0
g(t)dt
1
2
g
1
2
:
rectangles ` a droite,
(M 4 )
1
0
g(t)dt g
1
2
:
point milieu,
(M)
1
0
g(t)dt
1
6
g(0) +
2
6
g
1
2
+
2
6
g
1
2
+
1
6
g(1) : Simpson.
¿º¿º ËØÐÐØ × Ñ ØØÓÓÓ× ÊÙÒÒÒ¹ÃÙØØ
Les m´ ethodes de Runge-Kutta sont des m´ ethodes ` a un pas
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n )