VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
239
Exemple 2 – Pour q = 2, on consid` ere les tableaux de la forme
0
0
0
α
α
0
1 −
1
2α
1
2α
,
o` u α ∈ ]0, 1].
L’algorithme s’´ ecrit ici

         
         
p n,1 = f (t n , y n )
t n,2 = t n + αh n
y n,2 = y n + αh n p n,1
p n,2 = f (t n,2 , y n,2 )
t n+1 = t n + h n
y n+1 = y n + h n
1 −
1
2α
p n,1 +
1
2α p n,2
,
ou encore, sous forme condens´ ee :
y n+1 = y n + h n
1 −
1
2α
f (t n , y n ) +
1
2α
f (t n + αh n , y n + αh n f (t, y n ))
.
C’est n´ eanmoins la premi` ere formulation qui est la plus efficace en pratique,
puisqu’elle requiert seulement deux ´ evaluations de la fonction f au lieu de 3 pour
la forme condens´ ee.
• Pour α =
1
2 , on retrouve la m´ ethode du point milieu
y n+1 = y n + h n f
t n +
h n
2
, y n +
h n
2
f (t n , y n )
,
qui est bas´ ee sur la m´ ethode d’int´ egration du point milieu :
(M)
1
0
g(t)dt g
1
2
.
• Pour α = 1, on obtient la m´ ethode de Heun :
y n+1 = y n + h n
1
2
f (t n , y n ) +
1
2
f (t n+1 , y n + h n f (t n , y n ))
,
qui repose sur la m´ ethode d’int´ egration des trap` ezes :
(M)
1
0
g(t)dt
1
2
(g(0) + g(1)).