238
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
La m´ ethode Runge-Kutta correspondante est d´ efinie par l’algorithme

          
          





t n,i = t n + c i h n
y n,i = y n + h n
1≤j a ij p n,j
p n,i = f (t n,i , y n,i )





1 ≤ i ≤ q
t n+1 = t n + h n
y n+1 = y n + h n
1≤j≤q
b j p n,j .
On la repr´ esente conventionnellement par le tableau
(M 1 )
c 1
0
0 . . .
0
0
(M 2 )
c 2
a 21 0 . . .
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
(M q )
c q
a q1 a q2 . . . a qq−1 0
(M)
b 1
b 2 . . . b q−1 b q
o` u les m´ ethodes d’int´ egration approch´ ees correspondent aux lignes. On pose par
convention a ij = 0 pour j ≥ i.
Hypoth` ese – On supposera toujours que les m´ ethodes d’int´ egration (M i ) et (M)
sont d’ordre 0 au moins, c’est-` a-dire
c i =
1≤j a ij ,
1 =
1≤j≤q
b j .
En particulier, on aura toujours
c 1 = 0, t n,1 = t n , y n,1 = y n , p n,1 = f (t n , y n ).
¿º¾º ÜÜÑÔÐÐ×
Exemple 1 – Pour q = 1, le seul choix possible est
0
0
1
On a ici c 1 = 0, a 11 = 0, b 1 = 1. L’algorithme est donn´ e par

 
 
p n,1 = f (t n , y n )
t n+1 = t n + h n
y n+1 = y n + h n p n,1
Il s’agit de la m´ ethode d’Euler.