VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
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On consid` ere un probl` eme de Cauchy
y
= f (t, y),
t∈ [t 0 , t 0 + T ]
y(t 0 ) = y 0
et on cherche ` a discr´ etiser ce probl` eme par rapport `
a une subdivision t 0 < t 1 < . . . <
t N = t 0 + T . L’id´ ee est de calculer par r´ ecurrence les points (t n , y n ) en utilisant des
points interm´ ediaires (t n,i , y n,i ) avec
t n,i = t n + c i h n , 1 ≤ i ≤ q, c i ∈ [0, 1].
A chacun de ces points on associe la pente correspondante
p n,i = f (t n,i , y n,i ).
Soit z une solution exacte de l’´ equation. On a
z(t n,i ) = z(t n ) +
tn,i
tn
f (t, z(t))dt
= z(t n ) + h n
ci
0
f (t n + uh n , z(t n + uh n ))du
grˆ ace au changement de variable t = t n + uh n . De mˆ eme
z(t n+1 ) = z(t n ) + h n
1
0
f (t n + uh n , z(t n + uh n )du.
On se donne alors pour chaque i = 1, 2, . . . , q une m´ ethode d’int´ egration approch´ ee
(M i )
ci
0
g(t)dt
1≤j a ij g(c j ),
ces m´ ethodes pouvant ˆ etre a priori diff´ erentes. On se donne ´ egalement une m´ ethode
d’int´ egration approch´ ee sur [0, 1] :
(M)
1
0
g(t)dt
1≤j≤q
b j g(c j ).
En appliquant ces m´ ethodes d’int´ egration `
a g(u) = f (t n + uh n , z(t n + uh n )), il vient
z(t n,i ) z(t n ) + h n
1≤j a ij f (t n,j , z(t n,j )),
z(t n+1 ) z(t n ) + h n
1≤j≤q
b j f (t n,j , z(t n,j )).