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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
La solution exacte est y(t) = t +
1
3 . La donn´ ee initiale
y(0) =
1
3 + ε fournit
y(t) = t +
1
3 + εe
3t . On a alors
y(10) − y(10) = ε · e
30
10
13 ε.
Le probl` eme est ici math´ ematiquement bien pos´ e, mais num´ eriquement mal
pos´ e si la pr´ ecision des calculs est seulement de 10
−10 . Le probl` eme redevient
num´ eriquement bien pos´ e si la pr´ ecision des calculs est de 10
−20 .
Exemple 3 – L’exemple suivant montre que mˆ eme un probl` eme num´ eriquement
bien pos´ e peut soulever des difficult´ es inattendues :
y
= −150y + 30, t ∈ [0, 1],
y(0) =
1
5 .
La solution exacte est y(t) =
1
5 et la donn´ ee initiale
y(0) =
1
5 + ε fournit
y(t) =
1
5 +εe
−150t . Comme 0 ≤ e
−150t
≤ 1 sur [0, 1], le probl` eme est num´ eriquement
bien pos´ e. La m´ ethode d’Euler avec pas constant h donne
y n+1 = y n + h(−150y n + 30) = (1 − 150h)y n + 30h,
y n+1 −
1
5
= (1 − 150h)(y n −
1
5
),
y n −
1
5
= (1 − 150h)
n
y 0 −
1
5
.
d’o` u
Supposons h =
1
50 . Une erreur initiale y 0 =
1
5 + ε conduit `
a y n =
1
5 + (−2)
m ε, d’o` u
pour t = 1
y 50 =
1
5
+ 2
50 ε
1
50
+ 10
15 ε!
Pour que |y n | ne diverge pas vers +∞, il est n´ ecessaire de prendre |1 − 150h| ≤ 1,
soit 150h ≤ 2, h ≤
1
75 . Bien que le probl` eme soit tout ` a fait bien pos´ e, on voit
qu’il est n´ ecessaire de prendre un pas assez petit, et donc de faire des calculs plus
coˆ uteux que d’ordinaire.
D´ efinition 3 – On dit qu’un probl` eme est bien conditionn´ e si les m´ ethodes
num´ eriques usuelles peuvent en donner la solution en un temps raisonnable.
Un probl` eme sera bien conditionn´ e si la constante de stabilit´ e S n’est pas trop
grande (disons nettement < 10
10 si la pr´ ecision des calculs est 10
−10 ). Sinon, on
dit qu’on a affaire `
a un probl` eme raide.
On sait qu’en g´ en´ eral la constante de stabilit´ e S est major´ ee par e
ΛT . Dans un
probl` eme raide, on peut avoir typiquement ΛT = 10
3 , e
ΛT > 10
400 . Il existe des
algorithmes permettant de traiter certains probl` emes raides, mais nous n’aborderons
pas cette question. Le lecteur pourra consulter sur ce point le livre de CrouzeixMignot.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
La solution exacte est y(t) = t +
1
3 . La donn´ ee initiale
y(0) =
1
3 + ε fournit
y(t) = t +
1
3 + εe
3t . On a alors
y(10) − y(10) = ε · e
30
10
13 ε.
Le probl` eme est ici math´ ematiquement bien pos´ e, mais num´ eriquement mal
pos´ e si la pr´ ecision des calculs est seulement de 10
−10 . Le probl` eme redevient
num´ eriquement bien pos´ e si la pr´ ecision des calculs est de 10
−20 .
Exemple 3 – L’exemple suivant montre que mˆ eme un probl` eme num´ eriquement
bien pos´ e peut soulever des difficult´ es inattendues :
y
= −150y + 30, t ∈ [0, 1],
y(0) =
1
5 .
La solution exacte est y(t) =
1
5 et la donn´ ee initiale
y(0) =
1
5 + ε fournit
y(t) =
1
5 +εe
−150t . Comme 0 ≤ e
−150t
≤ 1 sur [0, 1], le probl` eme est num´ eriquement
bien pos´ e. La m´ ethode d’Euler avec pas constant h donne
y n+1 = y n + h(−150y n + 30) = (1 − 150h)y n + 30h,
y n+1 −
1
5
= (1 − 150h)(y n −
1
5
),
y n −
1
5
= (1 − 150h)
n
y 0 −
1
5
.
d’o` u
Supposons h =
1
50 . Une erreur initiale y 0 =
1
5 + ε conduit `
a y n =
1
5 + (−2)
m ε, d’o` u
pour t = 1
y 50 =
1
5
+ 2
50 ε
1
50
+ 10
15 ε!
Pour que |y n | ne diverge pas vers +∞, il est n´ ecessaire de prendre |1 − 150h| ≤ 1,
soit 150h ≤ 2, h ≤
1
75 . Bien que le probl` eme soit tout ` a fait bien pos´ e, on voit
qu’il est n´ ecessaire de prendre un pas assez petit, et donc de faire des calculs plus
coˆ uteux que d’ordinaire.
D´ efinition 3 – On dit qu’un probl` eme est bien conditionn´ e si les m´ ethodes
num´ eriques usuelles peuvent en donner la solution en un temps raisonnable.
Un probl` eme sera bien conditionn´ e si la constante de stabilit´ e S n’est pas trop
grande (disons nettement < 10
10 si la pr´ ecision des calculs est 10
−10 ). Sinon, on
dit qu’on a affaire `
a un probl` eme raide.
On sait qu’en g´ en´ eral la constante de stabilit´ e S est major´ ee par e
ΛT . Dans un
probl` eme raide, on peut avoir typiquement ΛT = 10
3 , e
ΛT > 10
400 . Il existe des
algorithmes permettant de traiter certains probl` emes raides, mais nous n’aborderons
pas cette question. Le lecteur pourra consulter sur ce point le livre de CrouzeixMignot.