VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
235
Le nombre de pas optimal observ´ e est N opt 4400.
¾ººº ÈÖÓÓÐ ÑÑ× Ò ÔÓ× ×¸ Ò ÓÒÒÒØØÓÒÒ ×¸ ÔÖÓÓÐ ÑÑ× ÖÖÖÖÖ×
L’objet de ce paragraphe est de mettre en ´ evidence les difficult´ es qui peuvent
apparaˆ ıtre dans la mise en œuvre des algorithmes de r´ esolution num´ erique.
D´ efinition 1 – On dit qu’un probl` eme de Cauchy est math´ ematiquement bien
pos´ e si la solution est unique et d´ epend continˆ ument de la donn´ ee initiale.
Exemple – Consid´ erons le probl` eme de Cauchy
y
= 2
|y|,
t∈ [0, +∞[
y(0) = 0.
Ce probl` eme admet les solutions y(t) = 0, y(t) = t
2 et plus g´ en´ eralement
y(t) = 0,
t∈ [0, a]
y(t) = (t − a)
2 , t ∈ [a, +∞[.
L’utilisation de la m´ ethode d’Euler y n+1 = y n + 2h n
√ y n va conduire aux solutions
approch´ ees suivantes :
• si y 0 = 0
y(t) = 0
• si y 0 = ε
y(t) (t +
√
ε)
2 quand h max → 0.
Il n’y a ici ni unicit´ e, ni continuit´ e de la solution. Le probl` eme de Cauchy est donc
math´ ematiquement mal pos´ e.
Les r´ esultats du chapitre V § 3.2 (et ceux `
a venir du chapitre XI § 1.2) montrent
que le probl` eme de Cauchy est math´ ematiquement bien pos´ e d` es que f (t, y) est
localement lipschitzienne en y.
D´ efinition 2 – On dit qu’un probl` eme de Cauchy est num´ eriquement bien pos´ e si
la continuit´ e de la solution par rapport `
a la donn´ ee initiale est suffisamment bonne
pour que la solution ne soit pas perturb´ ee par une erreur initiale ou des erreurs
d’arrondi faibles.
Par l’expression continuit´ e suffisamment bonne , on entend en g´ en´ eral l’existence
d’une constante de Lipschitz petite en regard de la pr´ ecision des calculs. On notera
que la d´ efinition 2 ne fait pas r´ ef´ erence ` a la m´ ethode de calcul utilis´ ee.
Exemple 2 – Soit le probl` eme de Cauchy
y
= 3y − 1,
t∈ [0, 10]
y(0) =
1
3 .
a un pas
235
Le nombre de pas optimal observ´ e est N opt 4400.
¾ººº ÈÖÓÓÐ ÑÑ× Ò ÔÓ× ×¸ Ò ÓÒÒÒØØÓÒÒ ×¸ ÔÖÓÓÐ ÑÑ× ÖÖÖÖÖ×
L’objet de ce paragraphe est de mettre en ´ evidence les difficult´ es qui peuvent
apparaˆ ıtre dans la mise en œuvre des algorithmes de r´ esolution num´ erique.
D´ efinition 1 – On dit qu’un probl` eme de Cauchy est math´ ematiquement bien
pos´ e si la solution est unique et d´ epend continˆ ument de la donn´ ee initiale.
Exemple – Consid´ erons le probl` eme de Cauchy
y
= 2
|y|,
t∈ [0, +∞[
y(0) = 0.
Ce probl` eme admet les solutions y(t) = 0, y(t) = t
2 et plus g´ en´ eralement
y(t) = 0,
t∈ [0, a]
y(t) = (t − a)
2 , t ∈ [a, +∞[.
L’utilisation de la m´ ethode d’Euler y n+1 = y n + 2h n
√ y n va conduire aux solutions
approch´ ees suivantes :
• si y 0 = 0
y(t) = 0
• si y 0 = ε
y(t) (t +
√
ε)
2 quand h max → 0.
Il n’y a ici ni unicit´ e, ni continuit´ e de la solution. Le probl` eme de Cauchy est donc
math´ ematiquement mal pos´ e.
Les r´ esultats du chapitre V § 3.2 (et ceux `
a venir du chapitre XI § 1.2) montrent
que le probl` eme de Cauchy est math´ ematiquement bien pos´ e d` es que f (t, y) est
localement lipschitzienne en y.
D´ efinition 2 – On dit qu’un probl` eme de Cauchy est num´ eriquement bien pos´ e si
la continuit´ e de la solution par rapport `
a la donn´ ee initiale est suffisamment bonne
pour que la solution ne soit pas perturb´ ee par une erreur initiale ou des erreurs
d’arrondi faibles.
Par l’expression continuit´ e suffisamment bonne , on entend en g´ en´ eral l’existence
d’une constante de Lipschitz petite en regard de la pr´ ecision des calculs. On notera
que la d´ efinition 2 ne fait pas r´ ef´ erence ` a la m´ ethode de calcul utilis´ ee.
Exemple 2 – Soit le probl` eme de Cauchy
y
= 3y − 1,
t∈ [0, 10]
y(0) =
1
3 .