234
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
E(h)
h opt
h
Typiquement, pour une m´ ethode d’ordre p = 2 o` u pC 10, on obtient h opt 10
−3 .
Si on prend un pas plus petit, l’erreur augmente ! Ceci est dˆ u au fait que le
nombre de pas N =
T
h augmente, et avec lui les erreurs d’arrondi, lorsque le pas
h diminue. Les erreurs d’arrondi l’emportent alors sur l’erreur globale th´ eorique
SCT h
p . L’exp´ erience num´ erique suivante confirme ces pr´ evisions th´ eoriques.
Exemple – Consid´ erons le probl` eme de Cauchy y
= y avec donn´ ee y 0 = 1 en
t 0 = 0. La solution exacte est y(t) = e
t , d’o` u y(1) = e 2, 7182818285. Si l’on
utilise la m´ ethode du point milieu avec pas constant h, on obtient l’algorithme
y n+1 = (1 + h + h
2 /2)y n , y 0 = 1.
L’erreur de consistance est donn´ ee par e n ∼ h
3 y n /6, d’o` u e n ≤ Ch
3 avec C = e/6
sur [0, T ] = [0, 1]. Par ailleurs, on peut au mieux esp´ erer σ = 10
−11 , ce qui donne
h opt ≥
10
−11
2 · e/6
1/3
2, 224 · 10
−4 ,
N opt =
T
h opt
< 4500.
Un calcul sur un ordinateur disposant d’une pr´ ecision relative maximale des r´ eels
de 10
−11 environ nous a donn´ e en fait les r´ esultats suivants :
Nombre de pas
Valeur y N associ´ ee
Erreur y(1) − y N
N =
10
2,7140808465
4, 2 · 10
−3
N = 100
2,7182368616
4, 5 · 10
−5
N = 500
2,7182800146
4, 8 · 10
−6
N = 1000
2,7182813650
4, 6 · 10
−7
N = 2000
2,7182816975
1, 3 · 10
−7
N = 3000
2,7182817436
8, 5 · 10
−8
N = 4000
2,7182817661
6, 2 · 10
−8
N = 4400
2,7182817882
4, 0 · 10
−8
N = 5000
2,7182817787
5, 0 · 10
−8
N = 6000
2,7182817607
6, 8 · 10
−8
N = 7000
2,7182817507
7, 8 · 10
−8
N = 10000
2,7182817473
8, 1 · 10
−8
N = 20000
2,7182817014
1, 3 · 10
−7
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
E(h)
h opt
h
Typiquement, pour une m´ ethode d’ordre p = 2 o` u pC 10, on obtient h opt 10
−3 .
Si on prend un pas plus petit, l’erreur augmente ! Ceci est dˆ u au fait que le
nombre de pas N =
T
h augmente, et avec lui les erreurs d’arrondi, lorsque le pas
h diminue. Les erreurs d’arrondi l’emportent alors sur l’erreur globale th´ eorique
SCT h
p . L’exp´ erience num´ erique suivante confirme ces pr´ evisions th´ eoriques.
Exemple – Consid´ erons le probl` eme de Cauchy y
= y avec donn´ ee y 0 = 1 en
t 0 = 0. La solution exacte est y(t) = e
t , d’o` u y(1) = e 2, 7182818285. Si l’on
utilise la m´ ethode du point milieu avec pas constant h, on obtient l’algorithme
y n+1 = (1 + h + h
2 /2)y n , y 0 = 1.
L’erreur de consistance est donn´ ee par e n ∼ h
3 y n /6, d’o` u e n ≤ Ch
3 avec C = e/6
sur [0, T ] = [0, 1]. Par ailleurs, on peut au mieux esp´ erer σ = 10
−11 , ce qui donne
h opt ≥
10
−11
2 · e/6
1/3
2, 224 · 10
−4 ,
N opt =
T
h opt
< 4500.
Un calcul sur un ordinateur disposant d’une pr´ ecision relative maximale des r´ eels
de 10
−11 environ nous a donn´ e en fait les r´ esultats suivants :
Nombre de pas
Valeur y N associ´ ee
Erreur y(1) − y N
N =
10
2,7140808465
4, 2 · 10
−3
N = 100
2,7182368616
4, 5 · 10
−5
N = 500
2,7182800146
4, 8 · 10
−6
N = 1000
2,7182813650
4, 6 · 10
−7
N = 2000
2,7182816975
1, 3 · 10
−7
N = 3000
2,7182817436
8, 5 · 10
−8
N = 4000
2,7182817661
6, 2 · 10
−8
N = 4400
2,7182817882
4, 0 · 10
−8
N = 5000
2,7182817787
5, 0 · 10
−8
N = 6000
2,7182817607
6, 8 · 10
−8
N = 7000
2,7182817507
7, 8 · 10
−8
N = 10000
2,7182817473
8, 1 · 10
−8
N = 20000
2,7182817014
1, 3 · 10
−7