VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
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¾ººº ÁÒÒÐÙÙÒÒÒ × ÖÖÖÙÖ× ³³ÖÖÓÒÒÒ
L’erreur globale calcul´ ee au § 2.4 est une erreur th´ eorique, c’est-` a-dire qu’elle ne tient
pas compte des erreurs d’arrondi qui se produisent in´ evitablement en pratique. Dans
la r´ ealit´ e l’ordinateur va calculer non pas la suite r´ ecurrente y n , mais une valeur
approch´ ee
y n de y n dans laquelle interviendront
• une erreur d’arrondi ρ n sur Φ(t n ,
y n , h n ),
• une erreur d’arrondi σ n sur le calcul de
y n+1 .
En d´ efinitive, on aura
y n+1 =
y n + h n (Φ(t n ,
y n , h n ) + ρ n ) + σ n
=
y n + h n Φ(t n ,
y n , h n ) + h n ρ n + σ n .
Il se peut ´ egalement que
y 0 diff` ere l´ eg` erement de la valeur th´ eorique y 0 :
y 0 = y 0 +ε 0 .
Hypoth` ese –
∀n, |ρ n | ≤ ρ, |σ n | ≤ σ.
Les constantes ρ, σ d´ ependent des caract´ eristiques de l’ordinateur et de la pr´ ecision
des op´ erations arithm´ etiques (si les r´ eels sont cod´ es sur 6 octets, on a typiquement
ρ = 10
−9 , σ = 10
−10 , |ε 0 | ≤ 10
−10 ).
Si la m´ ethode est stable avec constante de stabilit´ e S, on en d´ eduit
max
0≤n≤N
| y n − y n | ≤ S
|ε 0 | +
0≤n (h n |ρ n | + |σ n |)
≤ S(|ε 0 | + T ρ + Nσ).
A cette erreur due aux arrondis s’ajoute l’erreur globale th´ eorique
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| ≤ SCT h
p
max
si
y 0 = z(t 0 ).
L’erreur totale commise est donc
max
0≤n≤N
| y n − z(t n )| ≤ S(|ε 0 | + T ρ + Nσ + CT h
p
max )
Supposons le pas h n = h constant pour simplifier. On a alors N =
T
h et l’erreur est
major´ ee par
E(h) = S(|ε 0 | + T ρ +
T
h
σ + CT h
p ) = S(|ε 0 | + T ρ) + ST
σ
h
+ Ch
p
L’´ etude de E(h) donne la courbe suivante, avec un minimum de E(h) r´ ealis´ e en
h opt =
σ
pC
1
p+1 .